Also, eine Tangente ist ja immer eine Gerade, die sich an den Graphen einer Funktion f anschmiegt. Das bedeutet, sie besitzt an dem jeweiligen Punkt der Funktion, den sie schneidet, dieselbe Steigung wie f an dieser Stelle.
Da die Tangente eine Gerade ist, benötigen wir zunächst mal die Geradengleichung: y = mx + b.
Was wissen wir nun über die Tangente?
1. Sie geht durch den Punkt P(x|f(x)).
2. Sie hat an der Stelle x dieselbe Steigung wie f. Also: m = f ' (x), denn f ' (x) gibt ja die Steigung von f an.
Die Steigung m berechnen wir auch als Erstes. Dafür brauchen wir die Ableitung von f, also f ' (x) und bestimmen diese erst mal. Im Falle von Aufgabe a) also:
f(x) = 1/2 x2 - 3x - 1
f ' (x) = x - 3
Nun setzen wir die x-Koordinate unseres Punktes P(1|f(1)), also 1, in die Ableitung ein und erhalten m.
m = f ' (1)
m = 1 - 3
m = -2
Wir wissen also schon: y = -2x + b. Wir brauchen also noch das b, den y-Achsenabschnitt. Dazu setzen wir unseren Punkt P(1|f(1)) in die Tangentengleichung ein und lösen diese dann nach b auf. Vorher müssen wir aber erst mal noch die y-Koordinate f(1) ausrechnen:
f(1) = 1/2 x2 - 3x - 1
f(1) = 1/2 * 12 - 3 * 1 - 1
f(1) = 1/2 - 3 - 1
f(1) = -7/2
Punkt P ist also P(1|-7/2). Nun dann das Einsetzen in die Tangentengleichung y = -2x + b, und anschließend nach b auflösen:
-7/2 = -2 * 1 + b
-7/2 = -2 + b | + 2
-3/2 = b
Damit lautet schlussendlich unsere Tangentengleichung: y = -2x - 3/2.
Aufgabe b) und c) kannst du ja nun mal nach dem gleichen Prinzip selbst versuchen. Wenn du aber Probleme haben solltest, kannst du deine Fragen dann auch gerne in die Kommentare schreiben, dann kann ich dir da sicher auch weiterhelfen. :)
