Gegeben ist der Graph der zweiten Ableitung f'' einer Funktion f. Aussagen -> wahr/falsch + Begründung

Question

Also ich versuche den Graphen jetzt so gut wie möglich zu beschreiben. 

Er hat eine Nullstelle bei ca x= -0,4 und einen Schnittpunkt mit der y-Achse bei 2.

Er geht von "unten links nach oben rechts".

Er ist eine Gerade.

Nun folgen die Aussagen:

a) f' ist streng monoton fallend.

b) Der Graph von f' hat an der Stelle x=x₀ einen Wendepunkt.

c) Der Graph von f ist für x < x₀ linksgekrümmt.

d) Der Graph von f' ist für x > 0 linksgekrümmt.

Dies ist eine Übungsaufgabe für die morgige Klausur. Leider war ich während der Besprechung dieser Aufgabe geistig "abwesend" und habe nichts mitbekommen.

Ich wäre dankbar wenn ihr mir begründen würdet warum die Aussagen wahr/falsch sind.

Answer 1

Stelle eine Funktionsgleichung für f''(x) auf

Suche eine Funktion, die f''(x) als Ableitung hat, nenne diese Funktion f'(x)

Suche eine Funktion, die f'(x) als Ableitung hat, nenne diese Funktion f(x).

Lass dir die Graphen von f''(x), f'(x) und f(x) anzeigen.

Allgemein gibt f''(x) das Krümmungsverhalten von f(x) an.

• f''(x₀) < 0: Funktion ist rechtsgekrümmt bei x₀
• f''(x₀) > 0: Funktion ist linksgekrümmt bei x₀
• f''(x₀) = 0: Funktion ist nicht gekrümmt bei x₀. Bei einem Vorzeichenwechsel von f' an der Stelle x=x₀ liegt ein Wendepunkt vor, das heißt ein Übergang von links- in rechtsskrümmung oder umgekehrt. Vgl Vorzeichenwechselkriterium bei der Bestimmung von Extrempunkten.
  

f''(x) gibt auch die Steigung von f'(x) an. Du kannst also alles was du über die Beziehung zwischen Funktion und Ableitung gelernt hast auf die Beziehung zwischen Ableitung und zweite Ableitung übertragen.

Ist morgen nicht erster Schultag nach den Herbstferien? Ein blöder Termin für eine Klausur.

Comments

Danke ! Ja morgen ist der erste Schultag und das ist in der Tat ein blöder Termin für eine Klausur. Zumal man sich ja eigentlich erstmal wieder an den Schlafrhytmus gewöhnen muss etc. und gut gelaunt bin ich generell am ersten Schultag so gut wie nie ^^

Answer 2

a) ist falsch, da f '' = (f ' )' -also die Steigung von f ' sowohl p0sitive als auch negative Werte hat

b) was ist x₀ ?  Aber f ' ist eine Parabel (Grad=2, da f '' linear) -> kein Wendepunkt

c) falsch, f ist linksgekrümmt  für f '' > 0, also für x >2

d) wahr, der Graph der nach oben geöffneten Parabel ist immer linksgekrümmt

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Danke für die Antwort !