Es seien X, Y Mengen und f: X → Y eine Abbildung. Zeigen Sie:
(a) Ist f injektiv, so gilt für alle Mengen W und alle Abbildungen g,h: W → X die Implikation:
f ° g = f ° h => g = h.
Sei also f injektiv und g,h Abbildungen g,h: W → X und f ° g = f ° h.
Angenommen es wäre NICHT g = h
Dann gäbe es ein x aus W mit g(x) ≠ f(x).
Da aber f ° g = f ° h gilt, ist
f (g(x)) = f ( h(x)) und weil f injektiv,
also g(x) = h(x). Widerspruch!
(b) Ist f nicht injektiv, so gibt es eine Menge W und Abbildungen g,h: W → X mit g ≠ h und f ° g = f ° h.
f nicht injektiv heißt: Es gibt a,b aus X mit a≠b und f(a) = f(b) = y aus Y.
Sei W={y} und g:W---> X mit g(y)=a und h:W---> X mit g(y)=b.
Wegen a≠b ist g ≠ h aber
f (g(y)) = f(a) = f(b) = f(h(y)
Da f ° g und f ° h beide auf W definiert und bei dem einzigen
Element von Wden gleichen Funktionswert haben, sind sie gleich.
