Eine Schar von Funktionen mit der Gleichung fa(x)=(x²-a)*e^{-x}

Question

Ich suche die Nullstellen und die Stellen an denen der Graph eine waagerechte Tangente hat, dann die Hoch- und Tiefpunkte.

Danke schon mal im Voraus!

Answer 1

f_a(x) = (x² - a) e^-x

Nullstellen, f_a(x) gleich 0 setzen und nach x auflösen:

0 = (x² - a) e^-x   | e^-x kann nicht 0 ergeben, daher muss der andere Faktor gleich 0 sein
0 = x² - a   | + a
a = x²   | √
x₁ = -√a   ∧   x₂ = √a     (für a ≥ 0)

 

Eine waagerechte Tangente hat der Graph, wenn die Steigung an dieser Stelle gleich 0 ist. Diese Stellen sind also die Nullstellen der ersten Ableitung. Diese bildet man zunächst mit der Produktregel:

f_a(x) = (x² - a) e^-x
u(x) = x² - a     u'(x) = 2x
v(x) = e^-x     v'(x) = -e^-x
f_a'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)
f_a'(x) = 2x e^-x - (x² - a) e^-x
f_a'(x) = (-x² + 2x + a) e^-x

0 = (-x² + 2x + a) e^-x   | e^-x ≠ 0
0 = -x² + 2x + a   | * (-1)
0 = x² - 2x - a   | pq-Formel
x₃ = 1 - √(a + 1)   ∧   x₄ = 1 + √(a + 1)     (für a ≥ -1)

 

Diese beiden Stellen sind nun auch zugleich die Stellen der Hoch- und Tiefpunkte, vorausgesetzt, die hinreichende Bedingung trifft auch zu: f_a''(x) ≠ 0. Um die zweite Ableitung zu bilden, verwendet man wieder die Produktregel:

f_a'(x) = (-x² + 2x + a) e^-x
u(x) = -x² + 2x + a     u'(x) = -2x + 2
v(x) = e^-x     v'(x) = -e^-x
f_a'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)
f_a'(x) = (-2x + 2) e^-x - (-x² + 2x + a) e^-x
f_a''(x) = (x² - 4x + 2 - a) e^-x

Nun die hinreichende Bedingung, man setzt x₃ und x₄ in die zweite Ableitung ein. Ist das Ergebnis kleiner als 0, ist es ein Hochpunkt, ist es größer als 0, ein Tiefpunkt.

f_a''(x₃) = f_a''(1 - √(a + 1))
= ((1 - √(a + 1))² - 4 (1 - √(a + 1)) + 2 - a) e^{-(1 - √(a + 1))}
= (1 - 2 √(a + 1) + a + 1 - 4 + 4 √(a + 1) + 2 - a) e^{√(a + 1) - 1}
= 2 √(a + 1) e^{√(a + 1) - 1}
= 0   für a = -1   → kein Extrempunkt
> 0   für a > -1   → Tiefpunkt

f_a''(x₄) = f_a''(1 + √(a + 1))
= ((1 + √(a + 1))² - 4 (1 + √(a + 1)) + 2 - a) e^{-(1 + √(a + 1))}
= (1 + 2 √(a + 1) + a + 1 - 4 - 4 √(a + 1) + 2 - a) e^{-√(a + 1) - 1}
= -2 √(a + 1) e^{-√(a + 1) - 1}
= 0   für a = -1   → kein Extrempunkt
< 0   für a > -1   → Hochpunkt

Als letzten Schritt noch die y-Koordinaten dieser Punkte:

f_a(x₃) = f_a(1 - √(a + 1))
= ((1 - √(a + 1))² - a) e^{-(1 - √(a + 1))}
= (1 - 2 √(a + 1) + a + 1 - a) e^{√(a + 1) - 1}
= (2 - 2 √(a + 1)) e^{√(a + 1) - 1}

f_a(x₄) = f_a(1 + √(a + 1))
= ((1 + √(a + 1))² - a) e^{-(1 + √(a + 1))}
= (1 + 2 √(a + 1) + a + 1 - a) e^{-√(a + 1) - 1}
= (2 + 2 √(a + 1)) e^{-√(a + 1) - 1}

Also: Für a ≤ -1 gibt es keine Extrempunkte. Für a > -1 sind die Extrempunkte:

TP (1 - √(a + 1) | (2 - 2 √(a + 1)) e^{√(a + 1) - 1})
HP (1 + √(a + 1) | (2 + 2 √(a + 1)) e^{-√(a + 1) - 1})