Es sei (K, >) ein angeordneter Körper:

Question

folgende Aufgabe: Es sei (K, >) ein angeordneter Körper und es seien x,y,u,v Element K.
Folgern Sie aus den Anordnungsaxiomen:

(c) 0 < x < y => y^{-1} < x^{-1}
Diese Umformung habe ich bereits gezeigt.

(d) Sei x, y > 0, dann gilt: x < y <=> x^{2} < y^{2}
Hier komme ich nicht weiter.
x < y          | * x und * y
yx² < xy²  
Wie kann ich nun so kürzen, dass da steht x² < y²?

Weiteres zur Aufgabe, dass ich nicht ganz lösen kann:
Gilt (c) und (d) auch im Fall x < 0?

(c) Angenommen x < 0. Dann würde folgen x < 0 < y.
Da x eine negative Zahl ist, ist auch die Inversion ihrer Zahl negativ.
Wenn 0 < y ist, dann ist die Inversion von y stets positiv.
Somit folgt ein Widerspruch zu y^{-1} < x^{-1}.
-> Wenn dies stimmt, wie kann ich das formal, Schritt für Schritt zeigen?

(d) Angenommen es gilt x < 0, dann gilt weiterhin für y > 0.
Das quadrat einer negativen Zahl x ist stets positiv.
Wäre x = -2 und y = 1, würde folgen, dass y < x, also 1 < 4 ist.
-> Auch hier -> Wie kann ich dies formal notieren?

Florian T. S. :-)

Answer 1

(d) Sei x, y > 0, dann gilt: x < y <=> x² < y²
Hier komme ich nicht weiter.
x < y          | * x und * y
yx² < xy²  
Wie kann ich nun so kürzen, dass da steht x² < y²?

x<y   gibt  y-x  > 0

und es ist ja auch x+y > 0

also auch

(y-x)(x+y) > 0

y^2 - x^2 > 0

y^2 > x^2