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fa(x)=-ax3+4ax

Zeigen sie,dass alle Graphen einen Hoch und Tiefpunkt besitzen.


Ich hab Schwierigkeiten die Nullstellen von -3ax2+4a=0 zu berechnen.Das a erschwert mir das immer..

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Annahme a≠0

-3ax2+4a=0   |:a

-3x^2 + 4 = 0

4 = 3x^2

4/3 = x^2

±2 / √3 = x1,2 

Fall a=0

fa(x)=-ax3+4ax = 0 für beliebige x, somit auch für x1 und x2 vom 1. Fall. 

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Hey danke für deine Hilfe.Wenn ich jetzt die Wurzel aus -4/3 ziehe kommt kein Ergebnis raus,wenn ich jedoch deine Schreibweise benutze ergibt das bei mir -1,15 für - und 1,15 für +.In Klausuren habe ich dann das Problem da mein Taschenrechner kein Ergebnis also im negativen Fall ,dass ich die aufgabe nicht lösen kann.

Warum willst du die Wurzel aus MINUS 4/3 ziehen?

Ich habe dort kein Minus.

4/3 = x2

Die Frage lautet ja das ich beweisen soll dass alle Graphen einen Hoch und Tiefpunkt besitzen.Dann habe ich doch nur eine Nullstelle

Du hast 2 Nullstellen der Ableitung deines gegebenen Polynoms 3. Grades.

Und was heisst  das nun?

Die Nullstellen 1,15 und -1,15?Bin grade ein wenig verwirrt..wenn das der fall ist habe ich dann einen hoch und tiefpunkt ..Sind die Nulstellen richtig?

Wenn ich die 1,15 in die Ausgangsfunktion einsetze kommt bei mir für den Y Wert  -1,663 raus..Ist das richtig?

Bitte um kurze Rückmeldung

"Wenn ich die 1,15 in die Ausgangsfunktion einsetze kommt bei mir für den Y Wert  -1,663 raus..Ist das richtig? "

Da gehört zumindest noch ein Faktor a dazu. 

fa(x)=-ax3+4ax

fa'(x) = -3ax^2 + 4a

fa''(x) = - 6ax

Extremalstellen ±2 / √3 = x1,2  einsetzen:

fa''(2/√3) = -12a/√3

fa''(-2/√3) = 12a/√3

Egal welches Vorzeichen a hat, solange a ≠ 0 haben beide 2. Ableitungen in den Extremalstellen unterschiedliches Vorzeichen. Daher ist eines ein Hochpunkt und das andere ein Tiefpunkt. qed. 

Fall a = 0 separat ansehen, falls in der Fragestellung nicht ausgeschlossen. 

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