Es wird immer wieder verkehrt gemacht. Jedoch gibt es im Internet einige Experten, die es richtig machen; Matheprofs sind sicher nicht darunter ( Ich muss das schließlich wissen; auch ich hab mal drei Silvester Mensa studiert. )
Schüler betrachten nur den eindimensionalen Fall einer Kurve y = f ( x ) Es gibt auch dreidimensionale Gebirge z = f ( x ; y ) , die du dann auch Online perspektivisch mit verdeckten Kanten rausmalen kannst. Teoretisch wären auch mehr wie zwei Argumente denkbar.
Gehen wir zunächst aus von y = f ( x ) . für dich ganz wichtig zu wissen; es gibt nur hinreichende, keine notwendigen Kriterien. Hat die Funktion in x0 eine n-fache Nullstelle, n gerade, so liegt ein ( lokales ) Extremum vor. Und zwar legt das Vorzeichen der ersten nicht verschwindenden Ableitung fest, ob Maximum ( Minus ) oder Minimum ( Plus ) Okay; in 99 % der Fälle wird es sich um die dir wohl bekannte doppelte Nullstelle handeln. Aber ich lese euch ja; Schüler sind dann immer so Rat los, was etwa mit dem Minimum ist von f ( x ) = x ^ 4 710 bei x0 = 0 . Das ist eine 4 710-fache Nullstelle und FÄLLT UNTER DIE REGEL .
Da es sich nur um eine hinreichende Regel handelt, kannst du ganz leicht erreichen, dass die Voraussetzungen nicht erfüllt sind. So ist etwa die Betragsfunktion in ihrem Minimum überhaupt nicht differenzierbar; unsere schöne Regel ist gar nicht anwendbar. Denkbar wäre auch eine Funktion, die nur 4 711 Mal differenzierbar ist; und alle Ableitungen sind Null. Da aber die 4 712. Ableitung nicht existiert, hast du wieder keine Aussage. Oder sie ist unendlich oft differenzierbar; und alle Ableitungen verschwinden ...
Jetzt wirst du dich fragen; was ist mit n ungerade? Auch wieder hinreichend; wenn n > 1 ungerade, entspricht dies einem ===> Terrassenpunkt ( TP ) Ein TP ist ein Wendepunkt mit horizontaler Wendetangente
Eine Kurve y = f ( x ) kann ÜBERHAUPT KEINE SATTELPUNLTE ( SP ) HABEN . Zwar gelten Mathematiker manchmal als bissele spleenig; aber meist denken sie doch ganz vernünftig. ein Sattel ist ein Dingsbums, das in einer Richtung ein Maximum und gleichzeitig in einer anderen ein Minimum hat. Ein Sattel ist eine MINDESTENS zweidimensionale Fläche.
Halten wir fest: Eine dreidimensionale Funktion z = f ( x ; y ) kann sehr wohl SP haben. Und hier stimmt schon rein von der Definition, was du vermutest: ein SP ist ein VERALLGEMEINERTES EXTREMUM . Denn z.B. im Maximum geht es in allen Richtungen nur bergab; dagegen im SP geht es z.B. in x-Richtung bergauf und in y-Richtung bergab.
Dass ein TP kein Extremum sein kann, siehst du ja oben auch aus der Ordnung n der Nullstelle.
Was macht man nun mit so Funktionen wie z = f ( x ; y ) ? Da schnitzt man sich erst mal eine NOTWENDIGE Bedingung und sagt: Der ===> Gradientenvektor muss verschwinden; das gilt allgemein für Extremum, SP so wie TP . Der SONDERFALL von " Gradient " in einer Dimension entspräche der ersten Ableitung f ' ( x0 )
Vielleicht hast du ja in Erdkäs schon mal vom Gradienten vernommen.
Und als hinreichende Bedingung betrachtet man die ===> Hessematrix H In einem Minimum ist sie positiv definit, im Maximum negativ definit. In einer Dimension gilt wieder H = f " ( x0 ) ; also die zweite Ableitung muss positiv oder negativ sein.
Jetzt gibt es aber noch eine hinreichende Bedingung für SP ; und das ist, wenn H INDEFINIT ist . Eine Zahl wie f " ( x0 ) kann doch nicht indefinit sein ( !!! )
Ich kenn das; das erste Mal im Leben von Matrizen zu hören, ist eine Schockterapie. aber es macht auch wieder neugierig; du magst dich fragen: Was ist das für eine Eigenschaft, " indefinit " , die keine Zahl haben kann?
Was ich doch sagen will. Die Definition von SP muss konsistent bleiben, dass ihre Bedeutung in einer Dimension den Sonderfall von n Dimensionen ergibt. Ich kann doch nicht für jede Dimension eine neue Definition einführen.
Was kann mit H eigentlich noch passieren? Dass H singulär ist entsprechend f " ( x0 ) = 0 Dann nämlich greift keine unserer hinreichenden Bedingungen.
Und das ist eine ganz schwache Bedingung; ( nur ) notwendig für TP .
