Körpereigenschaften bestimmen

Question

Es sei (K, +, *) ein geordneter Körper mit Addition +, Multiplikation * und Nullelement 0 sowie Einselement 1. Dann ist die Menge K mit den Verknüpfungen ⊕ und ⊗, gegeben durch

x⊕y = x+y+1      sowie     x⊗y = x+y + x*y für x,y ∈ K ebenfalls ein Körper

a) Bestimmen Sie das Nullelement und das Einselement in (K, ⊕,  ⊗) .Warnung: Diese stimmen nicht mit 0 bzw. 1. aus (K,+,*) überein.

b) Bestimmen Sie für x∈ K das addititive und das multiplikative Inverse.

c) Beweisen oder widerlegen Sie: Auf K lässt sich eine Beziehung < so definieren, dass (K, ⊕,  ⊗) ein geordneter Körper wird.

also ich überlege und überlege aber komme einfach nicht auf einen ordentlichen Ansatz. Ich habe sowas noch nie gemacht und deswegen weiß ich nicht, wie ich anfangen soll. Es wäre nett, wenn mir hier etwas unter die Arme gegriffen wird.

Answer 1

Ansatz zu a): Bestimme \( n \) und \(e\) (Nullelement und Einselement\), so dass für alle \(x \in \mathbb{K} \) gilt:

x⊕n = n⊕x = x und x⊗e = e⊗x = x

Gruß

Comments

muss ich einfach x+y+1 + n = x+y+1 berechnen ? Bzw. umformen ? 

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Nein, du solltest zuerst mal schauen, dass du verstehst was da steht. Wo kommt das y her?

x⊕n = x+n+1

und das soll wieder gleich x sein. Was kann also n nur sein? Ähnlich gehst du bei dem Einselement vor.

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n kann nur -1 sein, aber wieso lassen wir das y weg ?

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Das y wurde doch nur als Platzhalter verwendet um die Definition der neuen Addition und Multiplikation darzustellen.

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Achso, verstehe. Dann ist das Einselement von x⊗e = (x+e  + x*e)  = x, dann muss e = 0 sein , oder? 

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Ja.

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Könntest du mir noch bitte bei b) den Ansatz verraten. Es muss ja für das additivie Inverse folgendes gelten:
x⊕n = x+n+1 = 0 Also muss doch n wieder -1 sein oder? also ist das additiive Inverse -1?

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1. Ist es schlampig wieder den selben Buchstaben zu benutzen (da das neutrale und das einselement eine besondere Stellung haben).

2. Warum soll 0 rauskommen? Das neutrale Element bezüglich Addition war doch -1, also wäre \(nennen wir das additive Inverse doch einfach (-x), wie sonst auch) der Ansatz:

x⊕(-x) = -1

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Aber wie soll ich dann folgende Gleichung lösen:

x⊕ (-x) = -1 <=> x + (-x) + 1 = - 1 <=> +1 = -1

WIe soll das gehen?

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Und wieso gilt x⊕(-x) = -1 ?

Warum nicht x⊕(-x) = 0 ( weil zb 7+ (-7) = 0 ) Verstehe nicht, wieso -1 ?

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Ok die Wahl war etwas unglücklich, hätte eigentlich schon vorhersehen können, dass sowas kommt. Dann nimm lieber \(x'\) als Bezeichnung anstatt \(-x\) und reservier \(-x\) für das additive Inverse bezüglich der "normalen" Addition. Du hängst zu sehr an den reellen Zahlen herum und nimmst das Geschriebene nicht als das wesentliche dar, wofür es steht. Das additive Inverse ist doch grade im Körper so definiert, dass beim Addieren das neutrale Element der Addition heraus kommt und das ist halt nicht mehr 0 sondern -1.

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Alles klar, vielen Dank, jetzt habe ich es verstanden.