um die Körpereigenschaft deiner Menge Q zu beweisen, die aus Linearkombinationen der Zahlen \( 1 \) und \( \sqrt{2} \) mit Koeffizienten in \( \mathbb{Q} \) besteht, genügt es zu zeigen, dass jedes Element aus Q multiplikativ invertierbar ist. Alle anderen Körpereigenschaften, wie zum Beispiel die additive Invertierbarkeit, lassen sich auf \( \mathbb{Q} \), also den Körper der rationalen Zahlen, zurückführen.
Für die multiplikative Invertierbarkeit suchen wir für eine beliebige Zahl \( U = a + b \sqrt{2} \in Q \) eine Zahl \( V = c + d \sqrt{2} \in Q \), sodass \( U \cdot V = (a + b \sqrt{2})(c + d \sqrt{2}) = 1 \) gilt. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei hierbei \( b \neq 0 \). Wir rechnen:
\( (a + b \sqrt{2})(c + d \sqrt{2}) = ac + 2bd + (ad + bc) \sqrt{2} \)
und fordern
\( ac + 2bd = 1 \),
\(bc + ad = 0 \).
Da \( b \neq 0 \), können wir die zweite Gleichung umgestellt in die erste einsetzen und erhalten:
\( ( 2b - \frac{a^2}{b} ) d = 1 \).
Daraus folgt d, falls \( 2b - \frac{a^2}{b} \neq 0 \) oder \( 2b^2 \neq a^2 \) gilt. Dies ist aber immer erfüllt, da die Zahl \( 2 \) in dem Quadrat einer Zahl nicht als Primfaktor mit ungerader Vielfachheit vorkommen kann.
Daher können wir für jedes Element \( U \in Q \) sein Inverses \( V \) berechnen und die Körpereigenschaften sind erfüllt.
MfG
Mister
