Aufgabe:
Wir betrachten die Menge
\( M:=\left\{\left(\begin{array}{cc} a & -b \\ b & a \end{array}\right) \mid a, b \in \mathbb{R}\right\} \subset M(2, \mathbb{R}) \)
(a) Beweisen Sie: Aus \( X, Y \in M \) folgt \( X+Y \in M \) und \( X \cdot Y \in M \).
(b) Beweisen Sie, dass \( M \) mit den auf \( M(2, \mathbb{R}) \) definierten Verknüpfungen ein Körper ist.
(c) Beweisen Sie, dass die Abbildung
\( \varphi: M \rightarrow \mathbb{C}, \quad\left(\begin{array}{cc} a & -b \\ b & a \end{array}\right) \mapsto a+i b \)
ein Isomorphismus ist
(d.h. \( \varphi \) ist bijektiv und es gilt \( \varphi(X+Y)=\varphi(X)+\varphi(Y) \) und \( \varphi(X \cdot Y)=\varphi(X) \cdot \varphi(Y) \)
für alle \( X, Y \in M) \).
