Nach dem binomische Lehrsatz gilt
\(2^{2n}=(1+1)^{2n}=\sum_{j=0}^{2n}{{2n}\choose j}\qquad (1)\)
und
\(0=(1+(-1))^{2n}=\sum_{j=0}^{2n}{{2n}\choose j}(-1)^j\qquad (2)\)
Addition dieser beiden Gleichungen liefert:
\(2^{2n}=\sum_{j=0}^{2n}{{2n}\choose j}(1+(-1)^j)\).
In dieser Summe tragen nur die geraden \(j\) zum Ergebnis bei, also
\(2^{2n}=\sum_{k=0}^{n}{{2n}\choose 2k}\cdot 2\), woraus die Behauptung folgt.
