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Es seien (X,τ) ein topologischer Raum und A,B⊂X. Zeigen Sie:

(a) (A∪B)quer = Aquer ∪ Bquer

(b) (A∩B)° = A°∩B° 

(c) (A∩B)quer ⊂ Aquer ∩ Bquer

(d) (A∪B)° ⊃ A° ∪ B°

Erläutern Sie anhand geeigneter Beispiele, dass in den Teilen (c) und (d) die anderen Inklusionen nicht gelten.

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(a) Der Abschluss von A bzw. B ist abgeschlossen. Endliche Vereinigung abgeschlossener Mengen ist abgschlossen. Also ist die rechte Seite abgeschlossen und enthält A und B. 

Damit gilt \( \overline{A \cup B } \subseteq \overline{A} \cup \overline {B} \).

Da \( A,B \subseteq A\cup B  \) gilt (Der Abschluss ist ordnungerhaltund) \( \overline {A}, \overline {B} \subseteq \overline {A \cup B } \).

Damit gilt die Gleichheit.


Die anderen Aufgaben gehen sehr ähnlich.

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