Alle komplexwertige Lösungen finden. z^4 = 16i

Question

Kann mir bitte irgendeiner bei dieser Aufgabe helfen und erklären?

Aufgabe

Finden Sie alle komplexwertigen Lösungen von

(a) \( z^{4}=16 i \)

(b) \( z^{4}+2(1+\sqrt{3} i) z^{2}-2+2 \sqrt{3} i=0 \)

Hinweis: Es genügt, wenn die Lösungen in der Polardarstellung angegeben werden.

schon lange versuche ich nun diese Aufgabe zu lösen, bitte helft mir, damit ich endlich ins Bett kann :)

aber wie gehe ich hier vor?

Z⁴+2(1+√(3) i)Z²-2+2√(3)i=0

=> Z⁴+(2+2√(3) i)Z²-2+2√(3)i=0

Nun würde ich gerne das ganze durch Z² dividiere, doch das würde mir nichts bringen, denn dann wäre  q =(-2+2√(3)i)/ Z²

Hat jemand einen Vorschlag, wie man jetzt vorgehen könnte?

Comments

Das ist doch nur eine quadratische Gleichung in z². Das muesste eigentlich jeder, der jetzt sogar mit komplexen Zahlen rumspielt, in seiner bisherigen Laufbahn schon mal gesehen haben.

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Bin mittlerweile selbst auf die Antwort gekommen, vielen Dank.
Ich verstehe nur nicht, warum man kommentiert, obwohl man nicht die Absicht hat zu helfen.

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Bist Du beleidigt, weil ich es nicht gleich für Dich ausgerechnet habe? Der Hinweis, dass es nur eine verkappte quadratische Gleichung ist, war Dir nicht gut genug? Mach Dir nichts draus, vielleicht rechnet es noch jemand anderes komplett für Dich aus.

Answer 1

Hallo

zu Aufgabe a) -siehe Bild

zu Aufgabe b)

Substituiere v=z^2 und Du hast eine quadr. Gleichung

Comments

Hey danke für die schnelle Antwort hat mir echt weiter geholfen :D habs bei dir besser verstanden als bei meinen Professoren xD

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Wieso ist k =0,1,2,3?

Und wie kommst du auf das unendlich?

Answer 2

zu a) Bilde zuerst den Betrag , dann  über tan α = Imaginärteil/Realteil den Winkel

Setze das Ganze in die Formel ein:

z_k= |a|^{ 1/n} e^{j α +2kπ}/n)

k=0,1,2,3)

n ist 4

zu b) Setze u= z^2 und rechne dann nach der pq-Formel

Answer 3

Z⁴+2(1+√(3) i)Z²-2+2√(3)i=0

Substituiere Z^2 = u und löse erst mal

u^2 +2(1+√(3) i)u-2+2√(3)i=0

Rücksubstitution nicht vergessen.