Kubische Gleichung lösen nach z (komplex) : z³ + (i -1)z² + (2-i)z- 2 = 0

Question

z³ + (i -1)z² + (2-i)z- 2 = 0

erste Nullstelle soll man raten. habe gewählt z1=1. Ich komme nicht weiter.

Habe ausklammerun und Polynomdivision versucht und scheitere an (-2)

Comments

z³ + (i -1)z² + (2-i)z- 2 = 0 . Hast du z=1 getestet? 

1 + (i-1) + (2-i) - 2

= 1 + i - 1 + 2 - i - 2 = 0 

Stimmt.

Nun rechne die Polynomdivision

(z³ + (i -1)z² + (2-i)z- 2) : (z-1) = ....

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Das habe ich versucht, habe ich komme da nicht weiter, entweder das polynom bricht vorzeitig ab oder es kommt z² + (i -1)z + (2-i)- 2/z heraus, das kann irgendwie alles nicht hinhauen :\

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(Z^3+(i-1)*z^2+(2-i)*z-2):(z-1)=z^2+i*z+2

-(z^3  -    z^2)

----------------

i*z^2

-(i*z^2 -  i*z)

---------------

2*z

-(2*z -  2)

------------

0

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danke erstmal.

wenn ich dann die pq formel benutze zu (z²+i*z+2)und einsetze erhalte ich:

z_2/3 =       -i/2 +- Wurzel[ (i/2)² -2) ]

z_2/3 =       -i/2 +- Wurzel[ (-1/4)² -2) ]

z_2/3 =       -i/2 +- Wurzel[ 2,25 * (-1) ]

z_2/3 =       -i/2 +- Wurzel[ 2,25] * Wurzel [ (-1) ]

z_2/3 =       -i/2 +- 1,5*i

ist das so richtig für die Nullstellen? und falls ja, kann man das noch weiter vereinfachen?

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Kontrolliere solche Resultate am besten hiermit:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E3+%2B+%28i+-1%29z%5E2+%2B+%282-i%29z-+2+%3D+0

Dann siehst du, wohin du kommen solltest.

Answer 1

1. Lösung: z₁=1

nach Polynomdivision ist zu lösen, siehe oben

0=z^2+i*z+2

p=i; q=2

p-q-Formel liefert

z₂₃=-0,5*i+-wurzel(-0,25-2)

z₂₃=-0,5*i+-wurzel(-2,25)

z₂₃=-0,5*i+-1,5*i

z₂=i

z₃=-2i

Comments

Ich danke Dir wirklich sehr, habe es oben noch als Frage formuliert aber deine Antwort war bei mir im offenen Tab noch nicht aktualisiert.