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z0=i ist gegeben, jetzt sollen noch die übrigen Lösungen bestimmt werden.


z³-(4+i)*z²+(5+4i)*z-5i = 0

von

Dividiere (z-i) heraus und erhalte eine quadratische Gleichung.

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Hallo Alonso,

z- (4+i) * z+ (5+4i) * z - 5i  = 0  

z1 = i   (Probieren)

Polynomdivision  (# vgl. unten):

( z3 - (4+i) * z2 + (5+4i) * z - 5i ) : (z - i)  =  z2 - 4·z + 5 

z2 - 4·z + 5  = 0

pq-Formel:

z2,3  =  2 ± √(4 - 5)  =  2 ± √(-1)  =  2 ± i 

---------

#

die Polynomivision durch einen Linearfaktor kann man übersichtlich mit dem Hornerschema durchführen:

             1     -4-i     5+4i      -5i             ←   Koeffizienten des 1. Terms  

[ * i]       -       i         -4i         5i             ←   vorherige untenstehende Summe * i  

___________________________     addieren 

            1      - 4         5                    ←   Koeffizienten des Restpolynoms 

                                            Die Null  zeigt an, dass die Division keinen Rest hat 

Vielleicht verstehst du das Hornerschema in diesem Video akkustisch erläutert besser:


Gruß Wolfgang

von 79 k





Das HornSchema verstehe ich zwar nicht, aber die Polynomdivision geht ja auch immer ;)



Danke

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Hallo Alonso,

versuche es mal mit Polynomdivision

$$(z^3-(4+i)z^2+(5+4i) z-5i) \div (z - i) = z^2 \bbox[#ffff33, 1px]{-}4z + 5$$ und nun nach der pq-Formel

$$z_{1,2} = \bbox[#ffff33, 1px]{+}2 \pm \sqrt{4  - 5} = \bbox[#ffff33, 1px]{+}2 \pm i$$ Gruß Werner

Korrektur: \(-4z\) statt \(+4z\)

von 17 k

Es muss wohl          
z2  - 4·z + 5 = 0   und damit  2 ± i   heißen

@Wolfgang: Stimmt; steht auch auf meinem Zettel. Das muss ich wohl falsch abgeschrieben haben. Danke für den Hinweis.

+1 Punkt

  Darf man sich selber loben? Auf dem Portal ===> Ly  cos ( verbotenes Wort; ich glaube, ein Geschlechts teil heißt so ) bekam ichj mal das Kompliment, die von mir entdeckte " erste und zweite Alfonsinische pq-Formel "  ( AF1 bzw. AF2 ) seien das Beste, was bisher auf dem Gebiet ersonnen wurde  pq-Formeln sind wichtig; das weißt du - seit mir gibt es mehrere davon ...

    ( Ich fand es voll witzig, sie zu benennen nach König Alfons 3/4 XII von Lummerland. )

   Durch Leid volle Erfahrung weiß ich,, dass hier Vorlesungen und Beweise, die über die eigentliche Lösung der Aufgabe hinaus gehen, gar nicht geschätzt werden. Du kannst längst nach den AF googeln; sie ergeben sich quasi straightforward aus dem Satz von Vieta. Wenn du weiter gehende Erläuterungen wünschst, melde dich durch Kommentar bei mir.

   Polynomdivision ( PD ) ist ja ein quietschendes verrostetes Getriebe. Die AF genießen den unschätzbaren Vorzug, dass sie auf etwas rekurrieren, was bei Schülern bestens eingeführt ist; nämlich LGS . Und du hast im Leben schon sicher schwerere LGS gelöst. Deine Ausgangsgleichung


     f  (  z  )  :=  z  ³  +  a2  z  ²  +  a1  z  +  a0        (  1a  )

                        a2  =  -  (  4  +  i  )  ;  a1  =  5  +  4  i  ;  a0  =  (  -  5  i  )    (  1b  )


     Mit Hilfe von Wolfram finde ich die Wurzel z3 = i .  Was wollen wir eigentlich mit dieser PD? Wir suchen doch das quadratische Faktorpolynom g ( z )


       f  (  z  )  :=  (  z  -  z3  )  g  (  z  )      (  2a  )

        g  (  z  )  :=  z  ²  -  p  z  +  q     (  2b  )


     Fragen wir ganz teaditionell; was ist gegeben? Was ist gesucht? Gegeben sind a0;1;2 in ( 1ab ) so wie z3 . und was wir suchen, sind p und q . Na dann mal ran an die Buletten


           a2  =  -  (  p  +  z3  )  ===>  p  =  4     (  3a  )        (  AF1   )  

        a0  =  -  q  z3  ===>  q  =  5     (  3b  )

     g  (  z  )  =  x  ²  -  4  x  +  5    (  3c  )


      ACHTUNG !!! Da meine AF von Vieta abstammen, sind sie nicht so robust wie PD . Es ist UNBEDINGT darauf zu achten, dass ( 1a ) in Normalform gegeben ist. Ich fürchte das wird bei Schülern eine der häufigsten Fehlerquellen. Für die Lösung von ( 3c ) scheint mir abermals Vieta das achnellste Verfahren


     p  =  2  Re  (  z0  )  ===>  Re  (  z0  )  =  2     (  4a  )

    q  =  |  z0  |  ²  ===>  |  z0  |  =  sqr  (  5  )     (  4b  )

  

   Mit Pytia und goras führt das sogar auf eine ganze Gaußsche Zahl:


        z0  ;  z0 *  =  2  +/-  i      (  4c  )


    Ich mache dich darauf aufmerksam, dass hinter dem ===> Hornerschema bedeutend mehr steckt, als man vermuten würde. Eine geniale Entdeckung aus dem Internet: PD durch Linearfaktor ( PDLF ) so wie in ( 2a ) ist ÄQUIVALENT Horner.

   Hast du je ein Computerprogramm geschrieben? Horner ist nicht schwer; aber zu meiner Zeit war das eben noch nicht entdeckt. Man sagt doch, anständiger Programmierstil ist immer, wenn die Unterroutine ihren Arbeitsvektor zurück gibt.

   Genau so hier; wenn du die Zwischenergebnisse von Horner auf einem Schmierzettel protokollierst  gibt das genau deine PD bzw. PDLF .

   Ich will dich jetzt nicht endlos zutexten; wenn aber Bedarf in dieser Richtung bestehen sollte, meld dich ruhig. Das Standardargument

   " Die PD mit der geratenen Nullstelle muss ich eh machen. Warum soll ich eigentlich die ganze Arbeit zwei Mal machen? "


  

von 5,5 k

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