Zeige, dass folgende rekursive Folge divergiert: a_(n+1)*a_(n)=(a_(n))^2 + (1+1/ n )^n

Question

Die Folge (an)n∈N sei wie folgt rekursiv gegeben: a_n+1*a_n=(a_n)² + (1+1/ n )ⁿ   .Zeige, dass für gleich welches a1 ∈ R die so gegebene Folge divergiert.

wenn ich es umforme erhalte ich ja(a_n+1)/(a_n)=

((1+1/n)^n/(a_n)^2 )+1

ist das dann mein a_1 ?? Weil dann erhalte ich nur positive werte und damit divergiert meine folge

Comments

Meinst du

a_(n+1)*a_(n)=(a_(n+1))² + (1+1/ n )ⁿ

oder

a_(n)+1*a_(n)=(a_(n)+1)² + (1+1/ n )ⁿ

oder eine Mischung von beiden? 

---

a_n+1*a_n=(a_n)² + (1+1/ n )ⁿ 

Diese Aussage ist gemeint ...

Tut mir leid für meine Ausdrucksweise 

---

EDIT: Aha! Ich korrigiere das oben mal so.

Tipp: (1 + 1/n)^n → "eulersche Zahl"

" ist das dann mein a_1 "

Du sollst zeigen, dass die Folge (a_n) divergiert, unabhängig von a_(1). 

---

Die Frage ist ja wenn ich etwas unabhängig von a1 zeigen muss wonach muss ich denn dann meine Gleichung auflösen um eine Aussage über a1 zu treffen ...??? 

---

RJAh na klar immer diese blöden widerspruchsbeweise damit kann ich noch nicht umgehen ... 

Da tue ich mich schwer mit 

Danke für den Tipp 

Answer 1

Wenn die Folge konvergieren wuerde, koennte man auf die Rekursionsgleichung die Grenzwertsaetze anwenden. Das ergibt eine unmoegliche Gleichung für den Grenzwert.

Answer 2

a_n+1*a_n=(a_n)² + (1+1/ n )ⁿ  

Annahme: Die Folge konvergiert.

Für den (allfälligen) Grenzwert a müsste gelten

a*a = a^2 + e

a^2 = a^2 + e |-a^2

0 = e     . Das ist ein Widerspruch zur Annahme, dass es einen Grenzwert gibt.

Daher gibt es keinen Grenzwert (egal, was a_(1) ist) . D.h. die Folge divergiert.