Ableitungen umformen: y=(x^{1/2}-x^2)/((x^2) +1), y´= ((1/2 x^{-1/2}-2x)*(x^2 +1)-(2x(x^{1/2}-x^2))/((x^2+1)^2)

Question

1)

y=(x^(1/2)-x²) / ((x²) +1)

y´= ((1/2 x^(-1/2)-2x)*(x²+1)-(2x(x^(1/2)-x²))/((x²+1)²)

wie komme ich dann auf die Lösung, welche bei dieser Aufgabe angegeben ist?

Lösung y´= ((-1,5x²-2x(√x)+0,5)/((√x)(x²+1)²))

 

2)

y= (1+cos)/(1-sin)      

u´=-sin(x)

v´=-cos(x)

 

y´=(-sin(x)*(1-sin(x)-(1+cos(x))*(-cos(x))) /(1-sin(x))²)

wie formt man das um, sodass dieses Ergebnis rauskommt?

y´=((cos(x)-sin(x)+1)/((1-sin(x))²)

 

3)

Ist es richtig, dass der Parameter t, immer mit abgeleitet wird?

z.B. f(x)=2cos(10t-π/3)

f´(x)=-20sin(10t-π/3)

dann

y=cos(x+2)

y´=-sin(x+2)

Comments

y´=(-sin(x)*(1-sin(x)-(1+cos(x))*(-cos(x))) /(1-sin(x))²)

wie formt man das um, sodass dieses Ergebnis rauskommt?

y´=((cos(x)-sin(x)+1)/((1-sin(x))²)

Beachte, dass sin^2 (x) + cos^2 (x) immer = 1.

Deshalb einfach im Zähler die Klammern auflösen und zusammenfassen.

Answer 1

3) 

Ist es richtig, dass der Parameter t, immer mit abgeleitet wird?

z.B. f(t)=2cos(10t-π/3)

f´(t)=-20sin(10t-π/3)

dann

y=cos(x+2)

y´=-sin(x+2)

Der Begriff Parameter passt nicht ganz. Das muss die Variable deiner Funktion sein. Man nennt 10t - π/3 die innere Funktion. Nach der Kettenregel musst du die auch ableiten.

Deine Ableitungen sind aber richtig.

 

1)

y=(x^(1/2)-x²) / ((x²) +1)

y´= ((1/2 x^(-1/2)-2x)*(x²+1)-(2x(x^(1/2)-x²))/((x²+1)²)

y´= ((1/2 / x^(1/2) - 2x)*(x²+1)-(2x(x^(1/2)-x²))/((x²+1)²)

y´= ((1/2 / x^(1/2) - 2x *x^{1/2}/x^{1/2})*(x²+1)   -  (2x(x^(1/2) *x^{1/2}/x^{1/2} - x² * x^{1/2}/x^{1/2}))  / (((x²+1)²) /1)

So hast du das x^{1/2} = √x in beiden Brüchen des Zählers unten. Und kannst einen Bruch draus machen.

Multipliziere den nun mit dem Kehrbruch des Nenners. Der resultierende Nenner stimmt. Den Zähler solltest du nun auch wie gewünscht vereinfachen können.

wie komme ich dann auf die Lösung, welche bei dieser Aufgabe angegeben ist?

Lösung y´= ((-1,5x²-2x(√x)+0,5)/((√x)(x²+1)²))