Mathematik - Produktregel & Ableitungen

Question

Aufgabe:

Ich würde gerne um Ihre Hilfe bitten - könnten Sie mir bitte erklären, wie ich die zweite Ableitung der folgenden Funktion bilde?

Wir behandeln aktuell das Thema ''Produktregel''; mir erschließt sich dort jedoch nicht, wie ich die zweite Ableitung funktioniert - kennt Ihr vielleicht auch eine hilfreiche Seite oder ein praktisches Video, welches mir die Ableitungen dahingehend erklärt? Ich finde nämlich keins, hauptsächlich nur zur ersten Ableitung.

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = (3-x) * e^-x - berechnen Sie die erste und zweite Ableitung.

f'(x) = e^x + (3-x) * e^-x - bei der zweiten habe ich hingegen keine Ahnung, wie ich das machen soll.

Vielen Dank!

Answer 1

Hallo,

\(f(x)=(3-x)\cdot e^{-x}\\u=3-x\\u'=-1\\v=e^{-x}\\v'=-e^{-x}\\f'(x)=-1\cdot e^{-x}+(3-x)\cdot (-e^{-x})\\ =-e^{-x}-e^{-x}(3-x)\\=e^{-x}\cdot(-1-3+x)\\ =e^{-x}\cdot (x-4)\)

Die 2. Ableitung berechnet du wie die erste.

Gruß, Silvia

Answer 2

Text erkannt:

Statt der Produktregel kannst du hier auch die Quotientenregel verwenden:
\( f(x)=(3-x) \cdot e^{-x} \)
\( f(x)=\frac{3-x}{e^{x}} \)
\( f \cdot(x)=\frac{(-1) \cdot e^{x}-(3-x) \cdot e^{x}}{\left(e^{x}\right)^{2}} \)
\( f \cdot(x)=\frac{(-1)-(3-x)}{e^{x}}=\frac{x-4}{e^{x}} \)
\( f^{\cdots}(x)=\frac{1 \cdot e^{x}-(x-4) e^{x}}{\left(e^{x}\right)^{2}} \)
\( f^{\cdots}(x)=\frac{1-(x-4)}{e^{x}}=\frac{5-x}{e^{x}} \)