Kreisgleichung mit Winkelfunktionen beweisen

Question

Zeigen Sie dass die Punkte (cos(t), sin(t)) für t ∈ ℝ stets auf dem Kreis mit der Gleichung x²+y²=1 liegen.

Dabei soll die Definition der Winkelfunktionen verwendet werden, also:

cos(t) = Re e^it, sin(t) = Im e^it

Wie geht man hier vor?

Grüße!

Answer 1

Am einfachsten finde ich: Einsetzen.

Wenn man  (cos(t), sin(t)) in  x²+y²=1 einsetzt

gibt es cos^2(t) + sin^2(t) = 1 . Und das ist ja bekannt.

Mit  cos(t) = Re e^it, sin(t) = Im e^it  geht es auch; denn

 
bei z = e^it    = cos(t) + i * sin(t)  gilt ja  | z | = 1 und das

ist ja für  z = x + iy  genau   wurzel(x^2 + y^2 ) = 1 .