Bestimmen vom Grenzwert einer Folge mit Summenzeichen.a_n:= n/2 - 1/(n+2) Σ_(j=1)^n j

Question

also ich muss den Grenzwert einer Folge bestimmen (siehe unten), aber das Summenzeichen ist irgendwie verwirrend, ich verstehe nicht, was das überhaupt bedeuten soll. Wird 1/(n+2) mit der Summe von irgendwas multipliziert oder? Und was für eine Summe soll das sein? Muss ich das Summezeichen als [n(n+1)]/2 darstellen und das dann mit 1/(n+2) multiplizieren?

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Answer 1

Du vermutest richtig.

Σ_(j=1)^n j = 1 + 2 + 3 + .... + n

Das ist eine arithmetische Reihe. Es resultiert (n+1)*n/2.

Daher:

an = n/2 - 1/(n+2) * (n+1) * n/2 

= n/2 ( 1 - (n+1)/(n+2)) 

= n/2 ( (n+2)/(n+2)  - (n+1)/(n+2)) 

= n/2 ( (n+2 - n - 1)/(n+2))

= n/2 ( 1/(n+2))

= 1/2 * n / (n+2)

= 1/2 * 1/(1 + 2/n)

Grenzwert n-> unendlich

= 1/2 * (1/(1+0)) = 1/2.