Ganzrationale Funktion 4. Grades bestimmen

Question

Gegeben sind die Aufgaben:

a) symmetrisch zur y-Achse ist, durch A(0/2) geht und den Tiefpunkt B(1/0) hat

b) symmetrisch zur y-Achse ist und in P(0/2) eine Wendetangente mit der Steigung -(4/3) hat

Ich hab die Bedingungen aufgestellt, aber weiß nicht weiter?

Answer 1

Wenn du die Bedingungen hast, also die Punkte, durch die das Polynom gehen soll, dann musst du diese Punkte (x,y) in die allgemeine Polynomfunktion 4. Grades (y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e) einfügen und das so entstandene Gleichungssystem nach a, b, c, d und e auflösen.

Comments

Ja bei a) habe ich die allgemeine Funktion genommen :

f(x) = ax^4 + bx^2 + c >alle hochzahlen sind gerade, da es y-Achse symmetrisch ist.

Dann hab ich nach den variablen aufgelöst:

a=0         b=-2           c=2

Also muss doch die Funktion f(x) = -2x^2 + 2 raus, ist das richtig?

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Nein, stimmt nicht, denn du hast in (1,0) einen Tiefpunkt. Die Parabel -2x^2+2 ist nach unten geöffnet, also kannst du keinen Tiefpunkt haben. Andererseits ist die Funktion symmetrisch, also ist auch ein Tiefpunkt im Punkt (-1,0). Also muss der Koeffizient von x^4 ungleich null sein. Aber die Argumentation mit der geraden Funktion stimmt.

Answer 2

a)

f(x) = ax⁴ + bx² + c   ,   f '(x)  = 4ax³ + 2bx

f(0 )= 2         → c = 2 

f(1) = 0        →  a + b = - 2  →  b =  - 2 - a

f '(1) = 0      →  4a + 2b = 0 →   2a + b  = 0  → 2a - 2 - a = 0   →  a = 2  → b = - 4

f(x) = 2x⁴ - 4x² + 2

Gruß Wolfgang