Anzahl von Teilmengen die ein Element xo enthalten und nicht enthalten gleich?

Question

Hallo ich habe folgende Aufgabenstellung :

  Meine Idee dazu ist wenn man an die Potenzmenge von X  bildet diese Menge alle möglichen Teilmengen von X. Welche die Mächtigkeit von 2^n hat. Zu meiner Vermutung hab ich mal angenommen Die Menge X hätte 2 Elemente x0,x1 P(x)=⟨ (xo),(x1),(x0,x1),( ) ⟩ 2 Teilmengen enthalten xo und 2 nicht .Was mich zu der Annahme bringt  es gibt gleich viele .

Um das zu zeigen  müsste man eine bijektive Funktion konstruieren , wie würde das gehen?

Answer 1

Sei T_∉ = {T⊆X | x₀ ∉ T} und T_∈ = {T⊆X | x₀ ∈ T}

Dann sind T_∉ und T_∈ disjunkt und es gilt T_∉ ∪ T_∈ = P(X).

Die Abbildung T_∉ → T_∈ mit T↦T∪{x₀} ist dann bijektiv.