Für welchen Parameter a ist die Matrix A invertierbar?

Question

Gegeben sei die Matrix A= 1  0  3

                                                2  1  8                      ,a∈ℝ

                                                2  -3  a

Für welchen Paramter a∈ℝ ist die Matrix A invertierbar?

Ich habe folgenden Ansatz bis jetzt:

1  0  3   1  0  0

2  1  8    0  1  0           2.Zeile-2*1.Zeile

2  -3  a    0  0  1          3.Zeile-2*1.Zeile

1  0  3    1  0  0

0  1  2    -2  1  0

0  -3  a-6    -2  0  1        3.Zeile+3*2.Zeile

1  0  3    1  0  0

0  1  2    -2  1  0             a*2.Zeile-2*3.Zeile

0  0  a    -8  3  1

1  0  3    1  0  0                    a*1.Zeile-3*3.Zeile

0  a  0    14a  a-2  -2

0  0  a    -8  3  1

a  0  0    a-24  -9  -3

0  a  0    14a  a-2  -2

0  0  a    -8  3  1

Ab hier weiß ich nicht weiter? Was wäre jetzt der nächste Schritt? Und habe ich ich bis hierhin überhaupt alles richtig gemacht oder habe ich schon im meinem Ansatz einen Fehler? Ich hoffe ihr könnt mir helfen. :)

Answer 1

DET([1, 0, 3; 2, 1, 8; 2, -3, a]) = a = 0

Für a ungleich 0 ist die Matrix invertierbar

A^-1 = 1/a·[a + 24, -9, -3; 2·(8 - a), a - 6, -2; -8, 3, 1]

Du scheinst also nur ein paar kleinere Rechenfehler gemacht zu haben. Am Ende teilst du noch durch a damit du in der Hauptdiagonalen die 1 stehen hast.

Comments

:) Also war mein Gedanke richtig. Ich wollte nur mal auf Nummer sicher gehen. Ja, habe mich vorher verschrieben. Habe es nur in einer Zeile verbessert und dadurch sind wohl die kleineren Rechenfehler entstanden.

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ich komme bei der Inversen aber auf -2a+16 anstatt 2*(8-a). Habe ich nun einen Fehler gemacht?

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Multipliziere mal 2*(8-a) aus. Stichwort Distributivgesetz.

Answer 2

  Mein Spezialverfahren; es geht darum, die Berechnung einer 3 X 3 Determinante zu umgehen. Kern ( A ) wird dargestellt durch die Bedingung eines homogenen LGS .




       x  +          3  z      =  0   |  :  z       (  1a  )

   2  x  +      y  +  8  z  =  0   |  :  z       (  1b  )

   2  x  -  3  y  +  a  z  =  0   |  :  z       (  1c  )

   X  :=  x / z  ;  Y  :=  y / z                  (  1d  )



    Dieser Divisionsalgoritmus funktioniert aber nur dann, wenn es uns gelingt, den Parameter a in einer Spalte zu isolieren- hier der dritten. In ( 1d ) wird die Anzahl der Unbekannten auf 2 beschränkt; das gilt als beherrschbar. Und die Abhängigkeit von a fliegt aus der Koeffiziehntenmatrix des LGS ( 1a-c ) heraus; dieses LGS lautet nunmehr völlig trivial



          X  =  (  -  3  )     (  2a  )
    
      2  X  +  Y  =  (  -  8  )  ===>  Y  =  (  -  2  )     (  2b  )

          a  =  3  Y  -  2  X  =  0    (  2c  )

    Kern  (  A  )  =  (  -  3  |  -  2  |  1  )    (  2d  )


   Für den Umformungsschritt in ( 1a-c ) wurde still schweigend ( oBdA ) z = 1 voraus gesetzt; eine Division durch Null zeitigt ja immer unvorhergesehene Folgen. Doch in ( 1a-c ) ist das völlig unkritisch; der Ansatz z = 0 führt in ( 1a ) auf x = 0 so wie in ( 1b ) entsprechend auf y = 0