Wie zeige ich, dass eine dichte Teilmenge vorliegt?

Question

"Man sagt von einer Teilmenge, sie liege dicht in einem metrischen Raum, wenn man jeden Punkt des Gesamtraums beliebig genau durch einen Punkt aus der Teilmenge approximieren kann. So bilden die rationalen Zahlen ℚ eine dichte Teilmenge in der Menge der reellen Zahlen ℝ(Wikipedia)"

Wie zeige ich, dass eine dichte Teilmenge vorliegt?

Zeigen sie: f(ℚ) liegt dicht in f(ℝ)

EDIT: Korrektur in Kommentar übernommen. 

Comments

Sry, verschrieben:

Zeigen sie: f(ℚ) liegt dicht in f(ℝ)

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Was ist denn \(f\)?

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f: ℝ→ℝ ist eine stetige Funktion

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Und du darfst verwenden, dass die rationalen Zahlen dicht in den reellen Zahlen liegen?

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Mehr steht dazu nicht in der Aufgabe, also gehen wir mal von ja aus, solange ein Beweis stattfindet.

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OK; zu zeigen ist also: Für jeden Punkt \(y\in f(\mathbb R)\) und für jedes \(\varepsilon>0\) ist der Schnitt \((y-\varepsilon, y+\varepsilon)\cap f(\mathbb Q)\) nichtleer.

Schreib dir mal die Stetigkeitsdefinition auf und was es bedeutet, dass \(\mathbb Q\) dicht in \(\mathbb R\) liegt; dann steht es schon fast da.

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Werde es heute oder morgen probieren und nochmal ein Kommentar hinterlassen, falls Fragen offen sind. Danke dir.

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Zwischen zwei reellen Zahlen a und b mit a<b liegt immer wenigstens eine rationale Zahl r mit a<r<b

und die Steigkeit von Funktionen, für f: A→ℝ: Wir nennen f an der Stelle x stetig, wenn es für jedes ε>0 ein δ>0 gibt, so dass für alle x'∈A, die Ix'-xI<δ erfüllen, If(x')-f(x)I<ε gilt.

Ich muss also zeigen, dass egal wie minimal die Änderung von meinem Funktionswert y ist, es immernoch eine rationale Zahl gibt, im Intervall (y-ε,y+ε) liegt

Z.z: Für jeden Punkt y∈ f(ℝ) und für jedes ε>o ist der Schnitt (y-ε,y+ε) ∩ f(ℚ) nichtleer.

Bew.: ...den kriege ich einfach nicht hin, habe mir jetzt ein dutzend mal die Definitionen angeguckt und es kommt nichts bei heraus, wie führt man denn so einen Beweis?

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Es war \(y\in\mathbb R\); also gibt es ein \(x\in\mathbb R\) mit \(f(x)=y\).

Alle \(y'\in (y-\varepsilon, y+\varepsilon)\) erfüllen die Ungleichung \(|y'-y|<\varepsilon\). Und zu jedem \(\varepsilon>0\) gibt es ein \(\delta>0\), sodass ...

Reicht dir dieser Hinweis?

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Ja, dass muss ich jetzt schaffen. Danke für die Hilfe. Hoffe ich kriege es hin.

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Wenn nicht, kannst du gern nochmal nachfragen. :-)