Integration durch Substitution - elliptisches Integral

Question

Folgende Aufgabe wurde mir gestellt:
Ich soll das Integral:

zu:


substituieren. Leider weiß ich nicht, was ich zu substituieren habe. Vielleicht könnt ihr mir helfen.
Achja:

Comments

was ist "z" ?

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Ist das jetzt eine Frage als Tipp oder eine allgemeine Frage?
"z" ist hier die Variable nach der Integriert wird. Habe das Integral 1:1 so abgeschrieben wie es in der Aufgabenstellung steht.

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Wäre es möglich das ich "z" zu z=cos(a) substituiere - also ungefähr so:

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Achso - ich dachte das hätte vielleicht eine geometrische Bedeutung.

ich tipp mal auf $$z = \tan \, \alpha$$

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Ich glaube damit klappt das nicht, da ich beim umstellen dann auf einen Sinus kommen würde oder?

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Versuch:

$$ \sqrt{1+ (1-\varepsilon)\frac {z^2}{1- z^2}} $$
$$ \sqrt{1+ (1-\varepsilon)\frac {tan^2}{1- tan^2}}\quad \cdot cos^2 $$

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Jetzt muss ich mal nachfragen: Wo kommt den das cos² her?

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Ableitung der Substitutionsfunktion:

$$ z = \tan (\alpha)$$
$$\frac {dz}{d\alpha} = \frac1 {\cos^2 \alpha}$$
$${dz}      = \frac    {d\alpha} {\cos^2 \alpha}$$

sorry ich bin grad ganz wirr ...

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Also jedenfalls so ähnlich - bin müde - geh erstmal schnarchen CU

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Achso okay, das erscheint mir logisch - ich komme trotzdem nicht darauf wie jetzt $$ \frac { tan² }{ 1-tan² } $$ "verschwinden" soll.

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Warum steht das dz eigentlich VOR der Wurzel ?<br>Streng genommen ware da nämlich die Lösung des Integrals einfach z und die Wuzeltermnummer ist ein unbeteiligter Vorfaktor.

Dann fehlt wohl noch eine Klammer um den 1minusEpsilon bzw. 1-a/b-Term.

Wenn das alles erstmal richtig dasteht, wirds leichter ...

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Manche Anwender (Physiker und so) schreiben gerne $$\int_a^bdx\,f(x).$$ Das hat immerhin den Vorteil, dass Leute, die von links nach rechts lesen, gleich am Anfang sehen, wonach integriert wird. Man kann nicht von der Hand weisen, dass das z.B. bei Mehrfachintegralen mit laenglichem und buchstabengesaettigtem Integranden womoeglich gar nicht so dumm ist.

Answer 1

Subst: y=b²/a²

∫ sqrt(1+y*z²/(1-z²))dz = (sqrt(1-z^2)*sqrt((z^2-y*z^2-1)/(z^2-1))*EllipticE2(asin(z), 1-y))/sqrt(1-z^2+y*z^2)

EllipticE(asin(z), 1-y),z=1 ergibt EllipticE(1-y) und bei z=0 ergibt das 0

sqrt(1-z^2)*sqrt((z^2-y*z^2-1)/(z^2-1))/sqrt(1-z^2+y*z^2),z=1 ergibt +/-1 bei z=0 ergibt das 1

Differenz=EllipticE(1-y)

also Endergebnis

L=a*EllipticE(1-b²/a²)

Weg2 (was laut Dir einfacher sein soll):

∫ sqrt(1-y*cos(x)²)dx = ((1-y) sqrt((-2+y (1+cos(2 x)))/(-1+y)) EllipticE2(x, y/(-1+y)))/sqrt(2-y (1+cos(2 x)))

ergibt auch was mit EllipticE2... was soll da einfacher sein?

Differenz: sqrt(1/(1-y)) (1-y)*EllipticE(y/(-1+y)) - 0

also Endergebnis mit Rücksubst:

L=a*b/a*EllipticE(1-a²/b²)

Probe mit numerischer Integration und a=7, b=5

L(7,5)=7*1.3557631762415649910305354634865588

=9.490342233690954937213748244405...

symbolisch:

7*EllipticE(1-5²/7²)=7*EllipticE(24/49)

z.B. http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php

=7*1.3557631762415649910305354634865588

=9.490342233690954937213748244405... stimmt

Probe 2. Integral erst numerisch:

integrate sqrt(1-(1-5²/7²)cos(x)²)dx,x=0...Pi/2

=7*1.3557631762415649910305354634865588

=9.490342233690954937213748244405...

symbolisch:

7*5/7*EllipticE(1-7²/5²)=5*EllipticE(-24/25)

=5*1.898068446738190987442749648881182...

=9.490342233690954937213748244405...

Alle 4 stimmen, weil

EllipticE[1 - 1/z] = EllipticE[1 - z]/Sqrt[z] für Abs[Arg[z]] < Pi

Comments

Und wenn Du was zu Substitution suchst, siehe

https://de.wikipedia.org/wiki/Weierstra%C3%9F-Substitution

Probier mal z=tan(α/2)

Dann passt auch die Obergrenze von Pi/2, denn tan(Pi/2/2)=1

Vorsicht mit a und α ! Für Substitutionen nehme ich lieber u, um es besser zu unterscheiden.