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helft mir bitte beie dieser Aufgabe:


∫(5+x)/(5-x)


Das Ergebnis davon ist:F= -10*ln(5-x)+x


Ich habe für u x-5 gewählt. Wie man auf den Ln kommt verstehe ich. Aber wo kommt diese 10 her? Könnt ihr mir das bitte mit nem Rechenweg zeigen bitte?

von

3 Antworten

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Hi,

durch eine einfache Subst. kommt man hier meiner Ansicht nach nicht zum Ziel. Eine Polynomdivision sollte schon dabei sein.


$$\int \frac{5+x}{5-x}\;dx = \int -1 - \frac{10}{5-x} \;dx$$

Der Rest ist vollends klar, denke ich. Summandenweise integrieren:

$$= -x - 10\ln(5-x) + c$$


Grüße

von 139 k 🚀
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\( u = 5-x\) d.h \( x = 5-u \) und außerdem \( dx = (-1)du \)

Setzen wir mal fleißig ein:

$$ \int \frac{5+x}{5-x} dx = (-1) \cdot \int \frac{5+(5-u)}{u} du = \int -\frac{10}{u} + 1du$$

Weiter schaffst du ja bestimmt alleine (bzw. hast du schon).

Gruß

von 24 k
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$$ \int \frac{5+x}{5-x}dx=\int \frac{5}{5-x}dx+ \int \frac{x}{5-x}dx=\int \frac{5}{5-x}dx- \int \frac{x-5+5}{x-5}dx=\int \frac{5}{5-x}dx- \int \frac{x-5}{x-5}dx-\int \frac{5}{x-5}dx=\int \frac{5}{5-x}dx- \int 1dx-\int \frac{5}{x-5}dx=-10 \int \frac{1}{x-5}dx-\int 1 dx=-10 \ln |x-5|-x+c$$

von 1,5 k

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