Antwort mit KI erzeugt:
Basis für \(U_1 \cap U_2\):
Um eine Basis für den Schnitt \(U_1 \cap U_2\) zu finden, muss man herausfinden, ob gemeinsame Vektoren in den linearen Hüllen von \(U_1\) und \(U_2\) existieren. Gegeben sind die Vektoren \(v_1, v_2\) für \(U_1\) und \(v_3, v_4\) für \(U_2\).
Da \(U_1\) und \(U_2\) durch unterschiedliche Vektoren erzeugt werden, die jeweils nicht Linearkombinationen voneinander sind, ist es intuitiv zu sehen, dass es keine Vektoren gibt, die gleichzeitig in \(U_1\) und \(U_2\) mittels Linearkombination der gegebenen Basisvektoren ausgedrückt werden können. \(v_3\) und \(v_4\) generieren alle Vektoren in \(\mathbb{R}^{3}\), die orthogonal zu \(v_1\) und \(v_2\) betrachtet, keine Schnittmenge aufweisen, außer dem Nullvektor, der stets in beiden Unterräumen enthalten ist.
Deshalb besteht die Basis für \(U_1 \cap U_2\) nur aus dem Nullvektor.
Basis für \(U_1 + U_2\):
Um eine Basis für die Summe \(U_1 + U_2\) zu finden, betrachten wir alle Vektoren, die als Summe von Vektoren aus \(U_1\) und \(U_2\) generiert werden können. Praktisch bedeutet dies, dass wir die Menge aller Vektoren suchen, die aus Linearkombinationen der Vektoren \(v_1, v_2, v_3, v_4\) bestehen.
Zuerst fassen wir die Vektoren in eine Matrix zusammen, um die lineare Unabhängigkeit zu prüfen:
\(
\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 1
1 & 1 & 0 & 0
0 & 1 & 1 & 0
\end{array}\right)
\)
Da es sich um Vektoren in \(\mathbb{R}^3\) handelt und wir vermuten, dass alle vier Vektoren nicht linear unabhängig sind (weil der Raum von maximal drei Dimensionen sein kann), gehen wir wie folgt vor, um eine Basis zu finden:
1. Reduzieren der Matrix. Dies ist die vereinfachte Darstellung der Reduzierung:
\(
\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 1
0 & 1 & 0 & -1
0 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right)
\)
2. Aus der reduzierten Matrix können wir sehen, dass \(v_1\), \(v_2\), und \(v_3\) linear unabhängig sind und das ganze \(\mathbb{R}^3\) aufspannen, da sie einen dreidimensionalen Raum aufspannen und die reduzierte Form linear unabhängige Zeilen zeigt. \(v_4\) ist eine Linearkombination der anderen drei, daher ist es nicht nötig, ihn in die Basis aufzunehmen.
Somit ist eine Basis für \(U_1 + U_2\) gegeben durch die Vektoren \(v_1\), \(v_2\), und \(v_3\):
\(
\left\{\left(\begin{array}{l}{1} {1} {0}\end{array}\right), \left(\begin{array}{l}{0} {1} {1}\end{array}\right), \left(\begin{array}{l}{0} {0} {1}\end{array}\right) \right\}
\)
Dies zeigt, dass die Summe der Unterräume \(U_1\) und \(U_2\) den gesamten Raum \(\mathbb{R}^3\) aufspannt.
