Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil, sowie den Betrag der komplexen Zahl Bsp. (1-i)^2 * (- (1 + i√(3))/2)^3

Question

bei diesen beiden Aufgaben (aus einem Lehrbuch) komm ich irgendwie nicht weiter... Kann mir jemand weiterhelfen?

("Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil, sowie den Betrag von...")

Comments

Du schreibst bei den Tags: Polarform.

Offenbar weisst du, was das ist. 

Bestimme die Polarformen von 

(1-i)

1+i

und

- (1+i√3)/2 

Nachher kannst du weiterrechnen. 

Answer 1

Was hindert dich daran einfach mal auszumultiplizieren

(1 - i)^2·(- 1/2 + √3/2·i)^3 = - 2·i

Mache zunächst den Nenner rational. Erweitere Geschickt mit (1 + i)^3

(1 + i)^5 / (1 - i)^3 = (1 + i)^8 / 2^3 = 2

Eine Potenz mit dem Exponenten 8 kannst du entweder über den Binomischen Satz ausmultiplizieren oder was geschickter ist über die Umwandlung in die Polarform.

Comments

Mit ausmultiplizieren habe ich die vorhergehenden Aufgaben (bis ^4) gelöst. Ist aber relativ "ungeschickt" und dauert entsprechend lange.

 Aber genau das Umwandeln in die Polarform bereitet mir Schwierigkeiten. Wie würde das am Beispiel (d) gehen? (Nenner reicht)

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Beispiel (d) ?

(1 + i)

Du brauchst ja nur 2 Sachen Ausrechnen. Die Länge und den Winkel

Länge √(1^2 + 1^2) = √2

Winkel ATAN(1/1) = pi/4

Daher lautet die Polarform

(1 + i) =  √2·e^{pi/4·i}

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Sorry, meinte e ;)

Also am Beispiel (1+i)^5 wäre dann die Polarform

√2*e^pi/4*5*i

Oder hab ich mich vertan?

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(1 + i) =  √2·e^pi/4·i

(1 + i)^5 =  (√2·e^pi/4·i)^5 = 4·√2·e^{5/4·pi·i}

Vergiss also nicht das man die Länge auch hoch 5 nehmen muss.

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Oh, shit. Ganz vergessen.

Macht mein Rechenweg zumindest bei Aufgabe (c) Sinn?

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Ich machs mal über die Polarform

- 1/2 + √3/2·i = 1·e^{2/3·pi·i}

(1·e^{2/3·pi·i})^3 = e^{2·pi·i} = 1

Das bekommst du auch heraus wenn du ausmultiplizierst.

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Okay, jetzt steck ich irgendwie fest. Also stimmt das oben (siehe Bild) nicht?

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(- 1/2 + √3/2·i)^2 = - 1/2 - √3/2·i 

(- 1/2 - √3/2·i) * (- 1/2 + √3/2·i) = 1/4 + 3/4 = 1

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Ich bins noch mal... Noch mal zur Aufgabe (e)
Ich komm nicht ganz dahinter wie du von (√2·e^pi/4·i)⁵ / (√2·e^pi/4·i)³  am Ende auf das Ergebnis =2 kommst? Könntest du mir das noch verständlich machen irgendwie?

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Erstmal richtige notieren ansonsten wird das nix.

(√2·e^{pi/4·i})^5 / (√2·e^{-pi/4·i})^3

Bitte erweitere doch erstmal geschickt so wie ich es geschrieben habe. 

Oder Potenziere Zähler und Nenner aus. Dabei kann gleich Wurzel 2 gekürzt werden.

2·e^{5/4·pi·i} / e^{- 3/4·pi·i}

Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert indem die Exponenten addiert werden

2·e^{8/4·pi·i} = 2·e^{2·pi·i} = 2

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Alles klar, besten Dank ;)

P.S.: Was richtig notieren? Habe die Potenz / Potenz exakt so geschrieben wie du auch ;)

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Fehlte bei dir nicht ein Minus im Exponent ? Ansonsten brauch ich eine neue Lupe.

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Mea culpa!

Nochmal besten Dank, macht jetzt alles etwas mehr Sinn als vorher!