Übergang zwischen Linearer und Quatratischer Funktion

Question

ich suche leider schon ewig eine Lösung für mein Problem. Leider stoße ich auf der Suche immer nur auf "Schulaufgaben" die mir so nicht weiterhelfen

Ich habe eine Tabelle die mehrere Teilstücke eines Diagramms aneinander hängt.
Diese Teilstücke können Konstant, Linear sowie Quadratisch sein.
Die quatratische Funktion ist
q= a * t²
wobei a=konst. und t=variabel (zeit)
Die verschiedenen Formen können belibig zusammen gestückelt werden.

Nun zu meinem Problem:
Der Übergang von einer Konstanten zu einer quatratischen Funktion ist ja relativ "einfach" in dem ich die Quatratische funktion (bzw. deren werte) einfach auf den letzten wert (also der Wert der Konstante) drauf addiere sprich zum zeitpunkt X ist q= Wert der Konstante + alpha * (X - T(zu beginn der quat. Funktion)²
(hoffe das ist soweit verständilich)

wenn ich nun aber eine lineare Steigung habe die in eine quatratische übergeht ist das ja nicht mehr so.
eigentlich müsste die Quatratische Steigung mit der Steigung der Linearen beginnen. Wenn ich sie einfach wie oben addiere entsteht ein knick im Diagramm und das ist falsch.

Leider habe ich überhaupt keine ahnung wie ich diese beiden Dinger zusamen bekomme. Ich weiß, dass beide Funktionen an diesem Punkt die selbe Steigung haben müssen. (1. Ableitung = Steigung der Geraden)

Vielleicht kann mir von euch einer helfen.

Comments

Kannst du die genaue Aufgabe mal stellen mit Bild der Graphen?

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Ok Vielleicht wird es so deutlicher,

es handelt sich um eine Exceltabelle.
Es gibt wie bereits erwähnt verschiedene Möglichkeiten den Graf zu erstellen.

Ich benötige den übergang (bzw.eine Formel für den Übergang) von einer Linearen Funktion in eine quatratische Funktion.

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Du solltest das wenn mit einer allgemeinen quadratischen Funktion

f(x) = a·x^2  + b·x + c

modellieren. Bei deinen beiden Parabeln sieht man das der Scheitelpunkt nicht im Ursprung liegen kann.

Wie gesagt besser kenn man helfen wenn man die Aufgabe bzw. die Wertetabelle kennt.

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Mhh ok... vielleicht wird es so deutlicher:

Es geht dabei um die grafische Darstellung einer Brandverlaufskurve.

a ist in diesem fall 0,01172

die Steigung der Geraden ist unterschiedlich (da nicht fest vorgegeben).

Und t ist die Zeit.

alle anderen Variabeln fallen weg

f(x)=0,01172*x² + 0 * x +0

f(x) = mx + c

(wenn es einfacher wird kann für die Steigung der Linearen gleichung z.B: 2 angesetzt werden)

Eine Kurze erklärung was genau ich erreichen will:

Die Leistung (q) eines Brandes verläuft im Normalfall in den ersten Minuten (entstehungsphase) linerar. Die Steigung ist hier abhängig von der Umgebung q=m*t (das "+c" fällt hier meistens Weg da die leistung am anfang 0 ist)

Danach (vollbrandphase) ändert sich der Verlauf der Leistung in eine quatratische Funktion (q=a*t^2)

Wenn ich nun die Quadratische funktion einfach oben auf die Lineare "aufstecke" ist es aber meiner Meinung nach nicht richtig, Da die Quadratische Funktion im punkt X (übergang zwischen beiden Funktionenen) die selbe Steigung haben müsste wie die Lineare.

Answer 1

ok ich nehme mal deine Funktion

g(x) = 0.75·x

Du suchst die Parabel an genau dieser Stelle. Das gibt übrigens unendlich viele,

f(x) = a·x^2 + b·x + c

f'(x) = 2·a·x + b

f(2) = 1.5 --> 4·a + 2·b + c = 1.5

f'(2) = 0.75 --> 4·a + b = 0.75

Das kannst du in Abhängigkeit von a lösen

b = (3 - 16·a)/4 ∧ c = 4·a

f(x) = a·x^2 + (3 - 16·a)/4·x + (4·a)

Ich skizziere das mal