Majorantenkriterium von Reihen

Question

Hallo liebes Forum...

Da ich bald Analysis Test habe und es noch ein paar offene Fragen gibt brauche ich eure Hilfe bei einem Bsp!

Zeigen Sie |S(d)| ≤ |d|/1 − |d| 

Im vorherigen Punkt war die konvergente Reihe an=dⁿ/n gegeben. 

Mir ist klar das ich das Majorantenkriterium anwenden und zurück auf die Geometrische Reihe führen muss nur ist mir nicht klar wie ich das machen soll. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Lg

Answer 1

Meine Glaskugel sagt mir, dass

$$S(d):=\sum_{n=1}^\infty \frac{d^n}{n}. $$

Die Aussage 

$$ |S(d)| \leq \frac{|d|}{1-|d|} $$

ist dann im Allgemeinen falsch.

Wähle z.B. \(d=2\). Dann gilt

$$ |S(2)|=\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n} > 0 $$

und damit \(|S(2)| \nleq \frac{2}{1-2} = -2\).

Du brauchst als Einschränkung \(|d|\leq 1\).

Comments

Achja das wäre vermutlich ein wichtiges Detail gewesen: für d gillt ∈(-1,1) Sry das hatte ich vergessen!

Wie kommst du darauf das S(d) gleich an ist als dⁿ/n?

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Du hast \(S(d)\) nicht angegeben und daher hab ich meine Glaskugel gefragt.

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Ja da hattest du auch recht nur war S(d) nicht gegeben. Muss mir wohl auch so eine Glaskugel zulegen.

Wie löse ich das Bsp mit der Einschränkung d∈(-1,1)

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So wie es in der anderen Antwort eines Gastes gemacht wurde. Als Zwischenschritt kann man noch

$$ \left| \sum_{n=1}^\infty \frac{d^n}{n} \right| \leq \sum_{n=1}^\infty \left| \frac{d^n}{n} \right| $$

angeben.

Answer 2

Für \(\vert d\vert<1\) gilt$$\left\vert\sum_{n=1}^\infty\frac{d^n}n\right\vert\le\sum_{n=1}^\infty\vert d\vert^n=\frac{\vert d\vert}{1-\vert d\vert}.$$