Konvergenz überprüfen

Question

Ich soll überprüfen ob die Folge $${ a }_{ n }={ \left( 1+\frac { 1 }{ \sqrt { n } } \right) }^{ n }-{ n }^{ 2 }$$ konvergiert und, wenn ja, den Grenzwert berechnen.

Meine Idee ist, dass der Ausdruck "links vom Minus" schneller gegen $$\infty$$ geht als der Ausdruck "rechts vom Minus", weshalb die Folge gegen +unendlich gehen, also nicht konvergieren, sollte. Ich weiß aber nicht, wie ich beweise, dass der linke Ausdruck schneller gegen +unendlich geht.

Ist meine Idee richtig und wenn ja, wie mache ich das am besten? Kann mir da bitte jemand helfen?

Answer 1

Binomialformel: $(1+1/\sqrt{n})^n=\cdots+{n\choose6}n^{-3}+\cdots=\Omega(n^3)$.

Comments

Danke für die Antwort, was genau bedeutet denn das Omega?

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Vergleiche die Landau-Symbole.

$$f\in\Omega(g)\quad:\Longleftrightarrow\quad g\in O(f)$$

In Worten: $f(n)\ge Cg(n)$ für fast alle $n$ mit einer geeigneten Konstanten $C>0$. Oder noch platter: $f$ waechst mindestens so schnell wie $g$.