Überprüfe die Behauptung mithilfe der Definition des Grenzwertes

Question

lim n->∞ 12n/(4n+5) = 3.

Ich kenn mich da nicht so ganz aus kann mir jemand helfen

Answer 1

Polynomdivision anwenden

12n : 4n+5 = 3  - 15 / ( 4n + 5  )
12n + 15
------------
-15

lim x −> ∞ [ 3  - 15 / ( 4n + 5 ) ] = 3

denn

15 / ( 4*n+5) = 15 / ( 4 * ∞ + 5 ) = 0

Comments

... was aber nicht die Definition des Grenzwertes ist.

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Warten wir einmal ab was der Fragesteller zu meiner Antwort sagt.

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@Nick, falls du noch etwas Gutes willst dann stelle doch
bitte die mathematisch richtige Antwort für mich und den Fragesteller
hier ein.
mfg Georg

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Danke für die Antwort,  aber in der Schule haben wir es irgendwie anders gemacht

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Muss man Zahlen einsetzen und schauen ob es eine wahre Aussage ist?

Answer 2

Ein Ansatz, wie man es mithilfe der Definition macht:

Zu zeigen ist: Für alle $\varepsilon>0$ existiert ein $n_0(\varepsilon)$, sodass für alle $n\geq n_0(\varepsilon)$ gilt: $\left|\frac{12n}{4n+5}-3\right|<\varepsilon$.

Forme mal die linke Seite dieser Ungleichung um, und dann kannst du dir für jedes $\varepsilon$ ein passendes $n_0(\varepsilon)$ überlegen.

Comments

Der Lehrer sagte,  dass ε nicht zur Schularbeit kommen würde,  heißt das, dass das nicht kommen wird?

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Woher soll ich denn wissen, was in eurer Schularbeit dran kommt?

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Was ich sagen will ist,  dass dieses ε damit etwas zu tun hat,

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Wie man diese Variable nennt, ist ja letztendlich egal.

Wichtig ist die Vorgehensweise. Und die obige Vorgehensweise entspricht dem, was du in der Überschrift geschrieben hast.

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Danke, aber ist bei jeder Vorgehensweise dieses ε,  meine letzte Frage

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Wie gesagt, es ist völlig egal, wie die Variable heißt. Du musst verstehen, wie der Beweis funktioniert. Und wenn du das getan hast, ist es auch völlig egal, welchen Namen die Variable hat.