symmetrische Matrix 2X2 bestimmen

Question

Ich soll eine symmetrische Matrix bestimmen. 

Matrix A ∈ ℝ^{(2,2)}

\( A=\left(\begin{array}{ll}{a} & {b} \\ {c} & {d}\end{array}\right) \)

 

Folgende Information sind gegeben.

A=A transponiert also symmetrisch

det(A) =24

Spur(A)=14

ein Eigenvektor ist (1,1) transponiert

Die Eigenwerte konnte ich schon bestimmen.

Diese lauten 2 und 12 und stimmen auch da die Summe beider Eigenwerte die Spur(A) ergeben muss.

Nun soll man die symmetrische Matrix bestimmen. Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen denn ich komme nicht mehr weiter.

Meine aktuellen Ansätze befinden sind auf dem Bild zu sehen. Ich wäre sehr dankbar für eure Hilfe denn ich komme einfach nicht mehr weiter. 

Answer 1

Wir beginnen mit der Matrix A:

$$A=\begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$$

Es ist

$$A*\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} a+b \\ b+c \end{matrix} \right) $$

Nun ist der Vektor (1,1)^T ja Eigenvektor der Matrix A:

$$A*\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \right) =\lambda \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} \lambda  \\ \lambda  \end{matrix} \right)$$

$$\Rightarrow a+b=b+c\Rightarrow a=c\\ A=\begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}\\ Spur(A)=2a=14\quad \Rightarrow \quad a=7\\ det(A)=a²-b²=24\quad \Rightarrow \quad 49-24=b²$$ 

Gruß

Comments

Vielen Dank für die Lösung. Dh. ich hätte die Eigenwerte gar nicht gebraucht. Aber als kontrolle sind sie sehr gut denn die Eigenwerte bleiben die gleichen wie auch vorher berechnet. Dass heißt dein Lösung ist absolut richtig.

Vielen DANK!!!!