Prüfe die Summe auf punktweise Konvergenz Σ cos(b^k*pi*x)

Question

Ich soll hier auf pkt konvergenz überprüfen , wobei b immer ein fester parameter ist.

klar ist das ich den limes für n gegen unendlich betrachten muss für festes aber bel. x .

kann ich die summe eventuell umschreiben stickwort teleskopsumme?

Das ist jetzt meine idee allerdings habe ich probleme die summe umzuschreiben

$$\sum _{ k=1 }^{ n}{ cos(b^k*pi*x) } $$

Comments

EDIT: Korrigiert.

Mach dann vielleicht eine Fallunterscheidung

b<-1, b= - 1, -1 < b < 0, b = 0, 0<b<1, b = 1, b> 1.

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Ich meine natürlich , dass b ein element der reellen zahlen ist aber fest

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EDIT: Habe nun oben b draus gemacht.

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Lässt sich das nicht umschreiben als teleskopsumme ?

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Das weiss ich nicht.

Wenn x = k/π (k rational) ist, könnte man für bestimmte vielleicht etwas mit Leibnitz machen. Aber, du musst irgendwie sicherstellen, dass die Summanden gegen 0 gehen. Dazu müsste zudem b^k gegen 1 oder -1 gehen.

Answer 1

Fuer Konvergenz muesste jedenfalls $$\lim_{k\to\infty}\cos(b^k\pi x)=0$$ gelten. Da eh \(x\ne0\) sein muss, muessen sich die \(b^k\) gerade um Punkte aus $$\left\{\ldots,-\frac{1}{2x}, \frac{1}{2x}, \frac{3}{2x},\ldots\right\}$$ haeufen. Jetzt braucht man nur noch zu ueberlegen für welche \(b\) und \(x\) das funktionieren kann. Viel sehe ich nicht.

Comments

Immerhin: Es funktioniert auch ungerades ganzzahliges \(b\) zusammen mit \(x=\pm1/2\).