Analysis: Funktionenschar ft mit ft(x) = x^3-4tx . Symmetrie, Fläche ...

Question

Bin an einer Aufgabe mit 6 Teilaufgaben, welche ich an sich nie wirklich beim unterricht behandelt habe und somit nicht weiß, wie man diese zu lösen hat.
Da ich es morgen abgeben muss, bin ich über jeden Einzelnen dankbar, der mir hilft.

Gegeben ist die Funktionenschar ft mit ft(x) = x^3-4tx

a) untersuchen sie den graphen auf symmetrie:

Meine Idee:

ft(-x) = (-x)^3-4t(-x) = -x^3+4tx

-ft(x) = -(x^3-4tx) = -x^3+4tx -> Punktsymmetrie, da -f(x)=f(-x)

b) Wie muss t gewählt werden, damit der Graph von ft einen Hochpunkt hat?

keine idee

c) Zeigen sie, dass die Graphen der Funktionenschar durch einen Punkt gehen.

keine idee

d) Kann der Parameter t so gewählt werden, dass der Punkt P(2/-8) ein
Extrempunkt ist?

Keine Idee

e) Bestimmen sie für t=1 den Inhalt der Fläche, die der Graph mit der x-Achse einschließt.

keine idee

f) Für t=0,25 wird der Graph zwischen dem ersten und dritten Schnittpunkt des Graphen mit der x-Achse um die x-Achse rotiert. Wie groß ist der Rauminhalt des dabei entstehenden Rotationskörpers?

Keine idee

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand die Lösungswege beschreiben kann, da ich ja praktisch nur bei einer von den sechs aufgaben eine idee habe.

Answer 1

zu Aufgabe b)
Du bildest die erste Ableitung, setzt diese gleich 0 und löst nach x auf. Hier stellst Du fest, dass es zwei Lösungen gibt. Du hast also zwei Extrempunkte, so dass einer davon ein Hochpunkt ist.

Answer 2

c) Zeigen sie, dass die Graphen der Funktionenschar durch einen Punkt gehen. 

ft(x) = x³-4tx = x(x^2 - 4t)

Alle diese Funktionen haben die Nullstelle x1=0

Daher gehen alle durch den Punkt O(0|0).