Beweis Umformung Binomialkoeffizient gleichwertig

Question

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$$ \left( \begin{array} { c } { 2 n } \\ { n } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { c } { 2 n } \\ { n - 1 } \end{array} \right) = ( 1 / 2 ) \left( \begin{array} { c } { 2 n + 2 } \\ { n + 1 } \end{array} \right) $$

Ich habe jetzt erst einmal die linke Seite in eine entsprechende äquivalente Art umgeformt.

2n! / ( n! (2n - n)!)           +                  2n! / ( ( n - 1 )! ( 2n - ( n - 1 )) ! )

= 2n! / 2n!                        +                  2n! / ( ( n-1)! ( n + 1)!

Aber irgendwie hilft mir das auch nicht weiter.

Answer 1

(2n) ! / ( n! (2n - n)!)           +                 ( 2n) ! / ( ( n - 1 )! ( 2n - ( n - 1 )) ! )

= (2n) ! / (n! * n! )                       +                  (2n) ! / ( ( n-1)! ( n + 1)!)

erweitern

= (n+1)^2 *(2n) ! / ((n+1)*n! *(n+1)*n! )                       +  (n+1)*n* (2n) ! / ( (n+1)*n*( n-1)! ( n + 1)!)

= (n+1)^2 *(2n) ! / ((n+1)!*(n+1) ! )                       +   (n+1) *n* (2n) ! / ( (n+1) !* ( n + 1)!)

auf einen Bruchstrich

= (    (n+1)^2 *(2n) !   +   (n+1) *n* (2n) !    )   / ( (n+1) !* ( n + 1)!)

im Zähler (n+1)*(2n) !  ausklammern

= (    (n+1+n )  *  (n+1) * (2n) !    )   / ( (n+1) !* ( n + 1)!)

= (    (2n+1 )  *  (n+1) * (2n) !    )   / ( (n+1) !* ( n + 1)!)

und damit aus dem Zähler (2n+2) ! wird muss statt  (n+1)

der Faktor (2n+2)dort stehen, also

= (1/2) * (    (2n+1 )  *  (2n+2) * (2n) !    )   / ( (n+1) !* ( n + 1)!)

=(1/2) *   (2n+2) !    )   / ( (n+1) !* ( n + 1)!)

= (1/2) * " (2n+2) über ( n+1) "

Comments

Boah, super. Vielen Dank für diese ausführliche Antwort :) .

Aber wie kommt man von
(1/2) *   (2n+2) !    )   / ( (n+1) !* ( n + 1)!) 

auf

(1/2) * " (2n+2) über ( n+1) "  ?

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wenn du den Binomialkoeffizienten " (2n+2) über ( n+1) "

mit Fakultäten schreibst, wie du es anfangs mit den anderen gemacht hats,

gibt es genau   (2n+2) !    )   / ( (n+1) !* ( n + 1)!)