Zeigen sie diese für die Gleichung

Question

Hallo ich habe die gleichung $${ x }^{ 7 }+x=1$$ , wie zeigt man das diese genau 1 reelle Lösung hat?

Comments

Sag doch erstmal, warum es ueberhaupt eine reelle Lösung geben muss. Dass es genau eine ist, kannst Du Dir ja spaeter noch ueberlegen.

Answer 1

x^7 + x = 1

Zunächst mal sollte man wissen, das die gegebene Funktion stetig ist.

y = x^7 ist streng monoton steigend

y = x ist streng monoton steigend

Die Summe zweier streng monoton steigender Funktionen ist wieder eine streng monoton steigende Funktion.

Eine streng monoton steigende Funktion hat keine Extrempunkte.

Die Funktion kann daher nur eine Nullstelle haben.

Da sie von negativ unendlich nach positiv undendlich verläuft muss sie auch genau einmal den Wert 1 annehmen. Das ist sicher für x im Intervall von 0 bis 1 der Fall.