Zeichnen Sie Wn für n =3,4,5,6. Zeigen Sie: Un = 2n sin(π/n) für n ≥3 und lim n→∞ Un = 2π.

Question

kann mir wer bei den Lösungen dieser Aufgaben helfen?

$$ Die\quad Potenzen\quad 1,\quad { \zeta  }_{ n },...,{ \zeta  }_{ n }^{ n-1 }\quad heißen\quad die\quad n-ten\quad Einheitswurzeln.\quad Sie\quad bilden\quad einregelmäßges\quad Polygon\\ { W }_{ n },\quad dessen\quad Eckpunkte\quad auf\quad dem\quad Einheitskreis\quad liegen.\quad Sei\quad { U }_{ n }\quad der\quad Umfang\quad von\quad { W }_{ n }.\\ 1.)\quad Zeichen\quad Sie\quad { W }_{ n }\quad für\quad n=3,4,5,6.\\ 2.)\quad Zeigen\quad Sie:\\ \qquad { U }_{ n }=2n*sin(\frac { π }{ n } )\quad für\quad n\ge 3\quad und\quad \underset { n→\infty  }{ lim } { U }_{ n }=2π.\\ \\ Tipp:\quad \underset { x→0 }{ lim } \frac { sin(x) }{ x } =1 $$

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Würde mich freuen, wenn jemand eine Läsung hierfür hat

Answer 1

Zu 1) Werte ausrechnen(wolframalpha) und zeichnen. fertig

Zu 2) zum Grenzwert:

$$ U_n = 2nsin(\frac{\pi}{n}) = 2\pi\frac{sin(\frac{\pi}{n})}{\frac{\pi}{n}}$$

Anwenden des Tipps liefert den Grenzwert.

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Kannst du mir ein Beispiel geben zum ersten Wert und wenn möglich die passende Zeichnung?

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$$W_3 = \{1, e^{1\cdot2\pi i/3}, e^{2\cdot2\pi i/3}\}, W_4 = \{1, e^{1\cdot2\pi i/4}, e^{2\cdot2\pi i/4}, e^{3\cdot2\pi i/4}\}, usw.$$

Zeichne die Werte in ein Koordinatensystem mit einer Achse für den Realteil(x-Achse) und einer Achse für den Imaginärteil(y-Achse). Es ergeben sich dann regelmäßige Polygone, d.h. für n=3 ein Dreieck, für n=4 ein Rechteck, etc.

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W₅ wäre dann in dem Fall = {1,e^1-2πi/5, e^2-2πi/5, e^3-2πi/5, e^4-2πi/5} ?

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Wenn du im Exponent multipliziert anstatt zu subtrahieren, ja. D.h. $$e^{1\cdot2\pi i/n}$$ anstatt $$e^{1-2\pi i/n}$$. Du musst einfach nur in die Definition von $$\zeta_n$$ die entsprechenden Werte einsetzen.

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Alles klar, danke!

Kannst du mir bitte noch den gefallen tun, wie nach anwendung des Tipps in der 2. Teilaufgabe den Grenzwert liefert? Ich steh da total auf den Schlauch und habe keinen Ansatz.

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Zu 1)
Am Besten schaust du dir mal den Einheitskreis an, und wie sich die Koordinaten eines einzelnen Punktes auf dem Kreis zusammensetzen.

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Zum Grenzwert:

Du musst mit π/π erweitern, so wie das oben in der Antwort getan wurde und daraus berechnest du den Grenzwert. 2π ist schonmal nicht von n abhängig, also kannst du das schonmal aus dem limes rausnehmen und davor schreiben, dann hast:

2π*lim sin(π/n)/(π/n) mit n →∞

Da n also gegen unendlich läuft, läuft π/n gegen 0.

jetzt erhältst du:

2π*lim sin(x)/x mit x→0

An dieser Stelle benutzt du den Tipp und bist fertig.