Invertierbare Matrizen. Bsp. Es gilt det (A^{-1}) = (det(A))^{-1}. Richtig / Falsch?

Question

Aufgabe:

Sei A ∈ R^nxn invertierbar und n > 1. Welche der Aussagen sind stets richtig, welche im Allgemeinen falsch?

(a) Für eine reelle Zahl r ≠ 0 ist auch A invertierbar mit (rA)^-1 = r ^-1 A^-1.

(b) Für eine invertierbare Matrix B ∈ R^nxn ist auch AB invertierbar mit (AB)^-1 = A^-1 B^-1.

(c) Die Transponierte A^T ist invertierbar mit (A^T)^-1 = (A^-1)^T.

(d) Es gilt det (A^-1) = (det(A))^-1.

(e) Für r ∈ ℝ gilt det(rA) = r det(A).

Comments

(e)  Betrachte z.B.  \(A=I_2\) und \(r=-1\).

Answer 1

 (d) Es gilt det (A^{-1}) = (det(A))^{-1}.

Stimmt

Dann Det (A) * Det (A^{-1}) = Det (A*A^{-1}) = Det(E) = 1

(e) falsch. Gegenbsp. in Kommentar von Gast.

zu (b) findest du bestimmt ein Gegenbeispiel, denn es gilt gemäss https://de.wikipedia.org/wiki/Reguläre_Matrix#Eigenschaften

(AB)^{-1} = B^{-1} * A^{-1}