Finden Sie eine Teilmenge, die eine Basis von ℝ^3 ist

Question

Finden Sie eine Teilmenge von
$$ \left\{\left(\begin{array}{l} {1} \\ {2} \\ {1} \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} {1} \\ {0} \\ {2} \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} {5} \\ {4} \\ {8} \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} {2} \\ {2} \\ {3} \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} {1} \\ {7} \\ {2} \end{array}\right)\right\} $$
die eine Basis von \( \mathbb{R}^{3} \) ist.

Begründen Sie dabei Ihre Antwort.

Answer 1

bezeichne die angegebenen Vektoren in dieser Reihenfolge mit  u, v, w, x  und  y.

Es ist w = 2·u + 3·v  und  x = 1·u + 1·v. D.h.  w  und  x  sind Linearkombinationen aus  u  und  v  und können daher im Hinblick auf die Bestimmung einer Basis des  ℝ^3 unberücksichtigt bleiben. Es bleibt zu zeigen, dass die Vektoren  u, v  und  y  linear unabhängig sind und damit eine Basis bilden.

Drei Formeln bilden und gleich null setzen, dann auflösen

λ₁*1+λ₂*1+λ₅*1=0

λ₁*2+λ₅*0+λ₅*7=0

λ₁*1+λ₂*2+λ₅*2=0

λ muss für alle null sein um basis zu sein