Zeige: M ist eine Basis und M ist maximale linear unabhängige Teilmenge sind äquivalent

Question

Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Eine maximale linear unabhängige Teilmänge von V ist eine linear unabhängige Teilmenge M ⊆ V, so dass jede echt größere Teilmenge M' ⊋ M von V linear abhängig. Zeigen Sie, dass für eine Teilmenge M ⊆ V äquivalent sind:

(i)   M ist maximale linear unabhängige Teilmenge;

(ii)  M ist eine Basis.

Comments

Zeigen Sie, dass für eine Teilmenge M ⊆ V äquivalent sind:

M ist maximale linear unabhängige Teilmenge  ⇔  ?

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M ist eine Basis

Diese Aussage ist nicht äquivalent.

Äquivalenz ist keine Eigenschaft einer Aussage, sondern eine Beziehung zwischen mindestens zwei Aussagen. Was ist die zweite Aussage?

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Zeigen Sie, dass für eine Teilmenge M ⊆ V äquivalent sind:

Die Aussage "M ist maximale linear unabhängige Teilmenge " ist nicht äquivalent.

Äquivalenz ist keine Eigenschaft einer Aussage, sondern eine Beziehung zwischen mindestens zwei Aussagen. Was ist die zweite Aussage?

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Diemathestudiert hatte das aufgeteilt. Habe im Original nun "M ist maximale linear unabhängige Teilmenge" ergänzt :)

Ausserdem die Fragen umgeleitet auf die Frage vor 6 Tagen (gleicher User ! ) . Antwort blieb damals ohne Reaktion.

Answer 1

Sei M eine maximale linear unabhängige Teilmenge von V.

Da sie linear unabhängig ist, bleibt nur zu zeigen, dass sie

ein Erzeugendensystem von V  ist. Dann ist es auch eine Basis von V.

Angenommen, es gäbe ein v∈V, das nicht als Linearkombination

der Elemente von M darstellbar ist. Dann ist insbesondere

v ∉ M und es wäre M ∪ {v} auch eine

linear unabhängige Teilmenge von V.

Das ist eine Widerspruch zur Maximalität von M..

Sei umgekehrt M eine Basis von V. Dann ist jedenfalls M

eine linear unabhängige Teilmenge von V.   M ist auch maximal;

denn gäbe es eine echt größere linear unabhängige  Teilmenge von V,

dann würde diese ein  v∈V enthalten, das nicht in M liegt.

Da M aber eine Basis von V   ist,  also auch ein

Erzeugendensystem von ist,   ist dieses v als Linearkombination

der Elemente von M darstellbar, also von diesen linear abhängig.

Widerspruch !

Comments

M ist eine Basis von V

==>  M ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge von V

Bew:  Sei M ' ⊃ M eine echt größere Teilmenge von M

==> Es gibt ein x∈M' mit x∈M.

Da M eine Basis ist, ist x als Linearkombination der

Elemente von M darstellbar. Also ist M ' eine Menge,

die ein Element enthält, das als Linearkombination der

Elemente von M darstellbar ist, also M ' lin. abhängig.

Es gibt also keine echt größere lin. unabh. Obermenge von M.

==>  M ist maximal.

umgekehrt:  Sei M maximale lin. unabh. Teilmenge von V.

Damit es eine Basis ist, ist zu zeigen, dass jedes El. von V

als Linearkombination der Elemente von M darstellbar ist.

Angenommen, es gäbe eines, das nicht darstellbar ist, dann könnte man dieses

zu M hinzufügen und hätte immer noch eine lin. unabh.

Menge, im Widerspruch zur Maximalität von M.