Differential gleichung 3. Ordnung lösen x´´´- 4x´´+ 5x´-2x = e^{-t}

Question

Ich möchte folgende Aufgabe lösen
x´´´- 4x´´+ 5x´-2x = e^{-t}
und die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung erstellen
ich habe bereits diese DGL wie folgt gelöst
x´´ + 2x´-3x = 0
charakteristisches Polynom :
p (λ) = λ^2+2λ -3 = 0
Lösung nach der PQ /Formel

Die Quadratische Gleichung x2 + 2 x + (-3) = 0 hat die Lösungen
x1 = 1
x2 = -3
Die beiden Funktionen y1(x) = e^1x und y2(x) = e^{-3x} bilden ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung .
Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung lautet
y(x) = c1 e^1x + c2 e^{-3x}
aber beider 3.Ordnung streikt mein Hirn
Ich würde mich über einenLösungsweg sehr freuen
Danke

Comments

Tipp: \(r^3-4r^2+5r-2=(r-1)^2(r-2)\).

Answer 1

k^{3}−4k^{2}+5k−2=0

(k−2)(k−1)^{2}=0

x1=C1e^{t}

x2=C2e^{t}⋅t

x3=C3e^{2t}

x_h=x1+x2+x3

x_p=A⋅e^{−t}

x_p 3 mal ableiten , in die Aufgabe einsetzen und einen Koeffizientenvergleich durchführen

x=xh+xp

Lösung zum Vergleich:

x=C1e^{t}  +C2e^{t} ⋅t +C3e^{2t} - (e^{-t})/12