Differential gleichung bestimmen?

Question

Aufgabe

ich brauche eure Hilfe Dringend. wie ich die Aufgabe angehe, ich komme nicht weiter.

y'= √(180-y² ) / x² - 8x -48 

Anfangswert: y(4)= 9

a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung.

Verwenden Sie zur Lösung des Integrals dx auf der rechten Seite der Gleichung nicht die Formelsammlung, sondern die Partialbruchzerlegung.

DGl: y‘= ??
Lösung: y(x)= ??

b) Bestimmen Sie die Lösung eines Anfangswertproblems. Nehmen Sie die DGL aus Aufgabenteil a), die Anfangsbedingung
Geben Sie Konstante C in der Lösung auch mit einer Fließpunktzahl mit mindestens 3 Nachkommastellen an.

Anfangsbedingung: y( ) =??
Lösung: y(x)=??

Answer 1

Hallo

Kennst du nicht das Prinzip Trennung der Variablen?

damit hast du  dy/√(180-y^2)= dx/(x^2 - 8x -48 ) beide Seiten integrieren, Integrationskonstante nicht vergessen, die wird durch die Anfangsbedingung bestimmt.

und (x^2 - 8x -48 )=(x-12)*(x+4) für die Partialbruchzerlegung,

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

$$\left.y'=\frac{\sqrt{180-y^2}}{x^2-8x-48}\quad\right|y'=\frac{dy}{dx}$$$$\left.\frac{dy}{dx}=\frac{\sqrt{180-y^2}}{x^2-8x-48}\quad\right|\cdot\frac{dx}{\sqrt{180-y^2}}$$$$\left.\frac{dy}{\sqrt{180-y^2}}=\frac{dx}{x^2-8x-48}\quad\right|\text{faktorisieren}$$$$\left.\frac{dy}{\sqrt{36\cdot5}\cdot\sqrt{1-\frac{y^2}{36\cdot5}}}=\frac{dx}{(x-12)(x+4)}\quad\right|\text{Partialbruchdarstellung rechts}$$$$\left.\frac{dy}{6\sqrt{5}\cdot\sqrt{1-\left(\frac{y}{6\sqrt5}\right)^2}}=\left(\frac{\frac{1}{16}}{(x-12)}+\frac{-\frac{1}{16}}{(x+4)}\right)dx\quad\right|\text{Substituion links}$$$$\left.\frac{d\left(\frac{y}{6\sqrt5}\right)}{\sqrt{1-\left(\frac{y}{6\sqrt5}\right)^2}}=\left(\frac{1}{16(x-12)}-\frac{1}{16(x+4)}\right)dx\quad\right|\text{Integration links und rechts}$$$$\left.\arcsin\left(\frac{y}{6\sqrt5}\right)=\frac{\ln|x-12|}{16}-\frac{\ln|x+4|}{16}+c\quad\right|\text{Vereinfachen}$$$$\left.\arcsin\left(\frac{y}{6\sqrt5}\right)=\frac{1}{16}\ln\left|\frac{x-12}{x+4}\right|+c\quad\right|\sin(\cdots)$$$$\left.\frac{y}{6\sqrt5}=\sin\left(\frac{1}{16}\ln\left|\frac{x-12}{x+4}\right|+c\right)\quad\right|\cdot6\sqrt5$$$$y(x)=6\sqrt5\cdot\sin\left(\frac{1}{16}\ln\left|\frac{x-12}{x+4}\right|+c\right)$$

Aus der Randbedingung folgt noch die Integrationskonstante \(c\), denn:$$9=y(4)=6\sqrt5\cdot\sin\left(\frac{1}{16}\ln\left|\frac{-8}{8}\right|+c\right)=6\sqrt5\cdot\sin\left(c\right)\implies \sin(c)=\frac{9}{6\sqrt5}\implies$$$$c=\arcsin\left(\frac{3}{2\sqrt5}\right)\approx0,735314$$