Regeln für die Grenzwerte

Question

(1) IaI<1, das bedeutet ja das a kleiner als null ist und diese Zahl muss in Betrag gesetzt werden, sodass sie positiv wird. Dann gilt ja für a sowohl a<1 als auch a>1 oder? Und ich verstehe auch nicht wieso 0 der Grenzwert ist?

(2) Das verstehe ich nicht , das bedeutet ja das der Grenzwert gegen 0 strebt. Wenn ich aber für x 0 einsetzt, geht es ja nicht..

Answer 1

zu 2.)

lim x −> 0 [ sin ( x ) / x ] = 0 / 0
Ein Fall für L´Hospital : cos ( x ) / 1

lim x −> 0 [  cos ( x )  ] = 1

~plot~  sin ( x ) / x ~plot~

Comments

Vielen Dank für deine Erklärung.

Ich hoffe Du kannst auch bei 1.) helfen .

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zu 1.)

| a | < 1  bedeutet

-1 < a < 1

a kann z.B. sowohl
+ 0.5
0
- 0.5 sein

für den Fall 1 bleibt das ergebnis immer positiv und nähert sich 0
0.5^1 = 0.5
0.5^2 = 0.25
0.5^3 = 0.125
lim n −> ∞ [ 0.5^n ] = 0

für den Fall 3 wechselt das Ergebnis sein Vorzeichen nähert sich aber auch 0
(-0.5)^1 = -0.5
(-0.5)^2 = +0.25
(-0.5)^3 = -0.125
lim n −> ∞ [ (-0.5)^n ] = 0

Die 2.Funktion ist offensichtlich nicht zeichenbar.

~plot~ 0.5^x ;(-0.5)^x ~plot~

Die Voraussetzung ist | a | < 1:
Für | a | > 1 stimmt dies nicht.
Wohin es geht kannst du sicher selbst herausfinden.

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Viele Vielen Dank für diese Erklärung !!!
Mich würde gerne interessieren , woher man das weiß:

| a | < 1  bedeutet

-1 < a < 1

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Die Betragsfunktion bedeutet

für x >= 0 : | x |  = x
für x < 0 : | x |  = x * (-1 ) = - x

Zahlenstrahl

               xxxxxxxxxxx
-----------|-------------|--------------
             -1               1

Nur im Bereich zwischen -1 und 1  bleibt  | x |
kleiner 1

Der Wert = abs(Zahl) = Betrag muß kleiner 1 sein

-1.2  -1.1  -1  -0.9  -0.8  -0.7--- 0.7  0.8  0.9  1.0  1.1  1.2
Betrag
 1.2   1.1   1   0.9    0.8   0.7--- 0.7  0.8  0.9   1.0  1.1  1.2

| a | < 1 :  -1 < a < 1

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Mir ist alles klar geworden, was du geschrieben hast, außer:

Die Betragsfunktion bedeutet

für x >= 0 : | x |  = x
für x < 0 : | x |  = x * (-1 ) = - x

Ich verstehe nicht ganz was man damit meint....tut mir echt leid, wenn ich mehrmals nach fragen muss

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Du sollst nicht unwissend sterben.

Als Betrag ist in der Mathematik definiert worden :
das Vorzeichen wird weggelassen. Der Wert ist positiv

Beispiele
-123 wird zu 123
- 17 => 17
0 => 0
+3 => 3
345 => 345

Wie kann ich den Betrag erreichen.

| -123 | = 123
| - 17 | = 17
| 0 | = 0
| +3 | = 3
| 345 | = 345

Durch welche mathematische Funktion kann man auf den
Betrag eines Werts kommen. Dies ist eine zweigeteilte Funktion
| x |  { x  , für x >= 0
        { x *(-1) , für x < 0 ; verwandelt einen negativen Wert in einen positiven Wert

~plot~ x ~plot~

~plot~ abs(x) ~plot~

Die Betragsfunktion ist immer im positiven Bereich

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Vielen Vielen Dank für die Hilfe, jetzt ist mir alles klar geworden.