Verständnisfrage Integralrechnung

Question

Ich habe zwei Integrale einmal mit

∫sin(x)dx²  mit "Untergrenze" = 0 und "Obergrenze" = pi

sowie

∫ x²dln(x) mit "Untergrenze" = 1 und "Obergrenze" = e

Was bedeutet denn dx²? Also zwei mal nach x ableiten?

Aber wenn ja was ist dann x²d ? 

Answer 1

Schau mal hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Stieltjesintegral

allenfalls noch in den andern Sprachen nach Beispielen suchen. 

Deine h(x) = x^2 und h(x) = ln(x) sind differenzierbar. 

Daher gemäss "Eigenschaften" nach dx umwandeln. Beachte die neuen Grenzen. 

Comments

Hallo Lu,

leider hatten wir bis jetzt nur die Definition des Riemann Integral. Wir haben damit noch nie gerechnet., gescheigen denn Stieltjes Integral näher betrachtet. 

Wenn ich weiß was dieses dx² und x²d bedeutet kann ich vermutlich auch das ganze berechen.

Gruß 

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Nein. Dem d darfst du das Argument nicht "stehlen". 

∫sin(x)dx² = ∫sin(x) * (2x) dx

Die Formel besagt übrigens, dass du die Grenzen nicht anzupassen brauchst. 

Also nun einfach partielle Integration benutzen. 

∫ x²dln(x) = ∫ x^2 * 1/x dx =  ∫x  dx = 1/2 * x^2 |_(1)^{e} 

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Manche Leute schreiben so'n Zeug, wenn sie die Substitutionsregel zum Integrieren benutzen, vgl. etwa Forster, Analysis I, Beispiel 19.15. Gemeint ist es immer so: \(dg(x)=g'(x)\,dx\). In Deinem Fall waere \(d(x^2)=2x\,dx\) und \(d\ln x=dx/x\). Nebenbei: \(dx^2\) kann man in diesem Zusammenhang nicht schreiben, das waere \((dx)^2\).

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be1255: Danke für die Erklärung. 

Die Grenzen bleiben also bei dieser Schreibweise unangetastet(?) . 

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Es ist $$\int_a^b f(x)\,dg(x)=\int_a^b f(x)g'(x)\,dx.$$ In dem Moment, in dem man eine Substitution macht, muss man die Grenzen schon anpassen, also z.B., wenn man \(x=\phi(t)\) setzt: $$\int_a^b f(x)\,dx=\int_{\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(b)}f(\phi(t))\,d\phi(t).$$ Wenn man dann das \(d\phi(t)\) beseitigt, macht man an den Grenzen nix mehr. Es geht also so weiter: $$\ldots=\int_{\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(b)}f(\phi(t))\phi'(t)\,dt.$$