In welchem Punkt S schneidet die Gerade durch D und F das Dreieck PQR?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist der abgebildete Körper mit den Ecken \( \mathrm{A} \) bis \( \mathrm{H} \). \( \mathrm{P}, \mathrm{Q} \) und \( \mathrm{R} \) sind jeweils Seitenmitten.

a) In welchem Punkt S schneidet die Gerade durch D und F das Dreieck PQR?

b) Wie lautet die Gleichung der Schnittgeraden der Ebene \( \mathrm{E}_{1} \) durch die Punkte \( \mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R} \) und der Ebene \( \mathrm{E}_{2} \) durch die Punkte \( \mathrm{H}, \mathrm{C} \) und \( \mathrm{G} \) ?

Comments

Schau mal ob du P, Q und R bestimmen kannst. Entweder Ablesen oder als Mittelwert berechnen.

Schau mal ob du dann eine Parameterform der Ebene PQR aufstellen kannst.

Dann ist es hilfreich diese Parameterform in die Koordinatenform zu wandeln.

Wenn du das hast. Dann schreib das mal als Kommentar oder schreib wobei du Schwierigkeiten hast.

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ich kapier nicht wie man PQR abließt,

so wie ich die Punkte "sehe" würde ich sagen:

P= (0/01)

Q=(2/4/0)

R= (0/6/3)

, ja ich weiß, dass das falsch ist,

aber vielleicht verstehst du darin was mein Denkfehler ist und wie ich das richtig ablesen kann :)

Answer 1

Ich lese folgende Punkte ab

B = [8, 8, 0]
E = [8, 0, 4]
F = [8, 8, 6]
G = [0, 8, 6]

Damit berechne ich P, Q und R

P = 1/2 * (E + F) = 1/2 * ([8, 0, 4] + [8, 8, 6]) = [8, 4, 5]
Q = 1/2 * (B + F) = 1/2 * ([8, 8, 0] + [8, 8, 6]) = [8, 8, 3]
R = 1/2 * (F + G) = 1/2 * ([8, 8, 6] + [0, 8, 6]) = [4, 8, 6]

Damit kann ich die Ebene durch PQR aufstellen

PQR: Vx = P + r * (Q - P) + s * (R - P) = [8, 4, 5] + r * [0, 4, -2] + s * [-4, 4, 1]

n = [0, 4, -2] ⨯ [-4, 4, 1] = [12, 8, 16] = 4 * [3, 2, 4]

PQR: Vx * [3, 2, 4] = [8, 4, 5] * [3, 2, 4]
3x + 2y + 4z = 52

Nun die Gerade DF aufstellen

DF: Vx = r * [8, 8, 6] = [8·r, 8·r, 6·r]

Schnittpunkt von PQR und DF

3(8r) + 2(8r) + 4(6r) = 52
r = 13/16

S = [8·13/16, 8·13/16, 6·13/16] = [6.5, 6.5, 4.875]

Für Aufgabe b) ist

PQR: 3x + 2y + 4z = 52
HCG: x = 0

Ich brauche einen beliebigen Punkt der das erfüllt.

Ich sehe x = 0 und z = 0 und damit y = 52/2 = 26

Da die gerade senkrecht zu den Normalenvektoren der Ebenen verlaufen muss

[3, 2, 4] ⨯ [1, 0, 0] = [0, 4, -2] = 2 * [0, 2, -1]

Damit lautet die Schnittgerade z.B.

g: [0, 26, 0] + r * [0, 2, -1]