Abbildung von Matrizen, Nachweis Bijektivität

Question

wie kann ich bei einer Abbildung 

bestimmen ob sie bijektiv ist? 

Zudem sei A∈K^mxm sei invertierbar und B∈K^mxn.

Meine Idee wäre es (nach google) zu zeigen das der Rang der entstehenden Matrix  gleich der Anzahl der Spalten gleich Anzahl der Zeilen ist.

Ist das richtig? Und wie mache ich das?

Vielen Dank schonmal

Answer 1

Loese die Gleichung \(Y=AX+B\) nach \(X\) auf und denke Dir was dabei.

Comments

Wir versuchen also die Umkehrabbildung zu finden?

X= (Y-B)/A

Ich denke man kann anstelle von X= (Y-B)/A 

-> X=(Y-B) *A^-1 schreiben oder? Wobei X=A^-1(Y-B) wieder ein anderes Ergebnis liefern würde.

Dennoch komme ich nicht weiter und wäre für etwas mehr Hilfe dankbar.

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X=(Y-B) *A^-1 schreiben oder? Wobei X=A^-1(Y-B) wieder ein anderes Ergebnis

Entscheide Dich halt mal, was jetzt richtig ist. Z.B. koenntest Du eine Probe machen.

Ausserdem kannst Du drueber nachdenken, was man daraus bzgl. Surjektivitaet und Injektivitaet von \(\Gamma\) schliessen kann. Dieser Teil ist sogar argumentationstechnisch unabhaengig davon, welche Formel die richtige ist, weil man gar nichts mehr rechnen muss.

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Durch ausprobieren komme ich dazu das "X=A^-1(Y-B)" die richtige Umkehrfunktion ist.

Ich habe also die oben gegebene Abbildung Γ : X-> AX+B  und die Umkehrabbildung

ψ :Y-> A^-1(Y-B)

Die Umkehrfunktion teilt jedem Y das Urbild X zu. 

Reicht das um die Bijektivität zu beweisen?

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Klar ist bis jetzt, dass \(\Gamma\) surjektiv ist, denn \(AX+B=Y\) hat für beliebiges \(Y\) eine Lösung \(X=A^{-1}(Y-B)\). Zur Injektivitaet, sprich: dieses \(X\) ist die einzige Lösung, musst Du schon auch noch was sagen.

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Okay, das mit der Surjektivität ist nun klar. Jeden Wert der Bildmenge kann ein Urbild zu geordnet werden.

Zur Injektivität, ich versuche zu zeigen das für zwei beliebige X,V ∈K^mxn nicht der selbe Wert in der Bildmenge getroffen wird.

X= AX+B und V = AV+B ->  AX+B = AV+B          |-B

-> AX=AV     | *A^-1

-> X=V 

Ich denke damit habe ich bewiesen das X und V nur dann auf den selben Wert abgebildet werden wenn sie gleich sind?

Somit können keine zwei Werte auf den selben Wert der Bildmenge abgebildet werden.

Da die Abbildung nun injektiv und surjektiv ist, ist sie bijektiv.

Hoffe das ist so richtig.

Danke für die Hilfestellung!

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Im Prinzip kannst Du es so lassen. Allerdings ist die Multiplikation mit einer regulaeren Matrix eine Aequivalenzumformung, d.h., es gilt von vorneherein $$AX+B=Y\quad\Longleftrightarrow\quad X=A^{-1}(Y-B),$$ womit dann auch schon beide Punkte geklaert sind. Das sollte der Tipp in der Antwort sein: Denk Dir was dabei. :)