Nachweis von Bijektivität, Surjektivität und Injektivität

Question

Ich weiss nicht was ich machen soll, oder wie.

Gib je einBeispiel für eine Abbildung φ: ℤ → ℤ an, die folgende Eigenschaften besitzt:

(a) bijektiv und I _[ℤ] verschieden,

(b) surjektiv, aber nicht injektiv

(c) injektiv, aber nicht surjektiv

(d) weder injektiv, noch surjektiv

Gib für die Beispiele in (a) und (c) die zugehörigen Umkehrabbildungen (wie bestimme ich diese??) an und bestimme für alle Beispiele (a) bis (d) die Menge φ^-1({1;2;3}).

Danke für die Hilfe

Comments

EDIT: Was ist mit I _[ℤ] verschieden genau gemeint? 

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Beispiel zu (d) weder injektiv noch surjektiv:

φ: ℤ → ℤ mit φ(x) = x²

φ(1) = 1 = φ(-1) , aber 1 ≠ -1 also nicht injektiv

Sei φ(x) = y. Für zB y = -1 ∈ ℤ gibt es kein Urbild unter φ (φ(x) = x² ≠ -1 da Quadrate immer positiv sind) , also nicht surjektiv

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da quadrate immer nicht-negativ sind

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da quadrate immer nicht-negativ sind in ℤ

Answer 1

> Ich weiss nicht was ich machen soll

Was du machen sollst, steht in der Aufgabenstellung

> oder wie.

Mit Phantasie.

> (a) bijektiv und I _[ℤ] verschieden,

φ(z) = -z für alle z∈ℤ.

> (b) surjektiv, aber nicht injektiv

φ(z) = z+1 für alle z < 0, φ(z) = z-1 für alle z > 0, φ(0) = 0

> (c) injektiv, aber nicht surjektiv

φ(z) = 2z für alle z∈ℤ

> (d) weder injektiv, noch surjektiv

φ(z) = 0 für alle z∈ℤ