Hi,
zuerst mal zur Aufgabenstellung. Soll die Spiegelungsebene die Ebene durch den Nullpunkt sein die senkrecht zum Vektor \( \vec n = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \) steht? Wenn ja, kann man den Vorfaktor \( \frac{1}{3}\) ignorieren.
Die Transformnation ist dadurch bestimmt, das ein beliebiger Punkt \( \vec P \) senkrecht an der Ebene gespiegelt wird. Dazu wird zuerst der Punnkt bestimmt, an dem die Gerade
\( \vec P + \lambda \vec n \) die Ebene \( \vec n \cdot \vec x = 0 \) schneidet. Dazu setzt man die Gerade in die Ebenengleichung ein und bestimmt \( \lambda \) aus der Gleichung
$$ \vec n \cdot ( \vec P + \lambda \vec n ) = 0 $$
Da der Abstand des gespiegelten Punktes gleich weit von der Ebene entfernt sein muss wie der zu spiegelnde Punkt, berechnet sich der gespiegelte Punkt folgendermaßen
$$ \vec {P'} = \vec P + 2\cdot \lambda \cdot \vec n $$
Daraus kann man die Transformationsmatrix berechnen und man erhält
$$ T = E - 2 \cdot \frac{ n \cdot n^T} { \| n \|^2 } $$
