Konvergenzradius einer Potenzreihe berechnen

Question

Die Aufgabe lautet:

Berechenn sie die Konvergenzradien von:

a) $$\sum^{\infty}_{n=1} \frac {3^{n}}{(n+1)^{3}}*z^{2n}$$

b) $$\sum^{\infty}_{n=1}log(n)*z^{n}$$

Meine Lösungsansätze:

a)

$$a_{n}= \frac {3^{n}}{(n+1)^{3}}$$ mit $$r=\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}|$$ kommt raus $$r= \frac{1}{3}$$ durch $$z^{2n}$$ muss damit $$|z|<\frac{1}{\sqrt{3}}$$ Und der Konvergenzbereich ist [-1/wurzel3, +1/wurzel3].

b) analog nur hier kriege ich raus, dass das ganze Divergiert.

Ist das richtig so oder habe ich mist gebaut?

Comments

Etwas weiter gegrübelt, leider keine neuen Erkentnisse meiner seits. Was sagt ihr?

Answer 1

Die  Rechnung die du machst ist richtig, aber bei der Aufgabe b) kommt als Konvergenzradius r=1 heraus. Der Grund ist (neben der Rechnung), dass für z>=1 die Reihe divergiert, weil dann die Summanden monoton wachsen und somit die Gesamtsumme immer größer wird.